La ley de gravitación de Newton en el espacio de Sitter

Question

Dadas dos masas $M$ y $m$ (con $M\gg m$ ) en un fondo de Sitter con constante cosmológica $\Lambda>0$ y curvatura espacial positiva ( $k=+1$ ). ¿Cuál es la fuerza gravitatoria correspondiente (semiclásica "newtoniana") entre $M$ y $m$ ?

Formar el $g_{00}$ de la solución estática de Schwarzschild-de Sitter de las ecuaciones de campo de Einstein yo supondría ingenuamente

$$F\approx -G\frac{Mm}{r^2}+\frac{\Lambda c^2}{3} m \,r,$$

con constante gravitatoria $G$ y distancia $r$ . En realidad, el segundo término de esta expresión es repulsivo. Como no he encontrado ninguna pista en la literatura me gustaría abordar esta cuestión aquí.

Answer 1

Tu fuerza es correcta, esa es también la expresión para $\ddot{r}$ en la realidad Schwarzschild De Sitter cuando se fijan en cero las primeras derivadas temporales de las coordenadas espaciales:

En ecuación geodésica da la componente radial de la aceleración 4 (en unidades naturales):

$$ \ddot{r}= \color{gray}{ \frac{\left(\Lambda r^3-3\right) \dot{r}^2}{r \left(\Lambda r^3-3 r+6\right)} } -\frac{\left(\Lambda r^3-3 r+6\right) \left(\color{gray}{ 3 r^3 \left(\dot{\theta}^2 +\sin ^2 \theta \ \dot{\phi}^2\right) }+\left(\Lambda r^3-3\right) \dot{t}^2\right)}{9 r^3} $$

donde se establece $\dot{r}=\dot{\rm \theta}=\dot{\rm \phi}=0$ y conecte

$$ \dot{t}=\sqrt{g^{t t}} \ \color{gray}{ \gamma } = \sqrt{\frac{1 \ / \ (1-2/r-\Lambda r^2/3)}{1-\color{gray}{ v^2 }}}$$

con $v=0$ donde $v$ es la velocidad medida por la masa local y estacionaria (relativa a la masa dominante) Fido s, entonces se obtiene

$$\ddot{r} = -\frac{1}{r^2}+\frac{\Lambda r}{3}$$

que es, en unidades naturales, la expresión que has adivinado correctamente. El punto es la diferenciación con respecto al tiempo propio, pero en el límite newtoniano el tiempo propio y el de coordenadas son el mismo.