¿Existe un functor aditivo entre categorías abelianas que no sea exacto en el medio?

Question

Supongamos que $F: C\to D$ es un functor aditivo entre categorías abelianas y que

$$0\to X\xrightarrow f Y\xrightarrow g Z\to 0$$

es una secuencia exacta en $C$ . ¿Se deduce que $F(X)\xrightarrow{F(f)} F(Y)\xrightarrow{F(g)} F(Z)$ es exacta en $D$ ? En otras palabras, ¿es $\ker(F(g))=\mathrm{im}(F(f))$ ?

Observación 1: Si la respuesta es negativa, un contraejemplo debe utilizar un no dividido secuencia exacta corta. Esto se debe a que los functores aditivos envían secuencias exactas divididas a secuencias exactas divididas. Una división es un par $s:Y\to X$ y $r:Z\to Y$ para que $id_Y=f\circ s+r\circ g$ , $id_X=s\circ f$ y $id_Z=g\circ r$ . Un functor aditivo preserva estas propiedades, por lo que $F(s)$ y $F(r)$ dividirá la secuencia en $D$ .

Observación 2: Probablemente sabes que conoces muchos functores aditivos exactos por la izquierda y exactos por la derecha, pero también conoces muchos functores aditivos exactos por la izquierda y exactos por la derecha. exacto en el centro functores aditivos. $H^i$ y $H_i$ para cualquier teoría de (co)homología no son exactas ni a la izquierda ni a la derecha, pero son exactas en el centro por la secuencia exacta larga en (co)homología.

Answer 1

Consideremos la categoría abeliana de morfismos de espacios vectoriales, es decir, los objetos son mapas lineales $f:U\to V$ y los morfismos son cuadrados conmutativos. Sea el functor $Im$ asignar a un morfismo $f$ su imagen $Im(f)$ . Consideremos la secuencia exacta corta de morfismos $(0\to V)\to (U\to V)\to (U\to 0)$ . El functor $Im$ la transforma en la secuencia $0\to Im(f)\to 0$ es decir $Im$ no es exacta en el centro.

Por otra parte, observe que $Im$ es epimorfa y monomorfa, es decir, transforma epimorfismos en epimorfismos y monomorfismos en monomorfismos.

Answer 2

La composición de dos funtores aleatorios "exactos en el medio" debería dar un contraejemplo.

Por ejemplo, consideremos el functor de $\mathbb Z$ -a sí mismo dado por $$ M \mapsto Hom(\mathbb Z/p\mathbb Z, M/p^2 M),$$ para algún primo fijo $p$ . Aplicando esto a la secuencia exacta corta $$0 \to \mathbb Z/p^2 \mathbb Z\to \mathbb Z/p^3\mathbb Z \to \mathbb Z/p \mathbb Z \to 0$$ (siendo la primera flecha no trivial mult. por $p$ y siendo la segunda la proyección natural) da la secuencia $$ \mathbb Z/p\mathbb Z \to \mathbb Z/p\mathbb Z \to \mathbb Z/p\mathbb Z,$$ con todas las flechas siendo 0 (suponiendo que no he calculado mal).

Answer 3

Que yo recuerde, hay un ejemplo importante de functor que transforma mono- y epimorfismos en mono- y epimorfismos, respectivamente, pero que no es semiexacto; se trata del functor de extensión intermedia de las láminas perversas.