Cómo demostrar esta desigualdad de la teoría de números $\left(\dfrac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(\omega{(n)})^k\right)^{\frac{1}{k}}\le k+\sum_{q\le N}\frac{1}{q}$

Question

Demuestre que: para cualesquiera números positivos $k$ y $N$ , han $$\left(\dfrac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(\omega{(n)})^k\right)^{\frac{1}{k}}\le k+\sum_{q\le N}\dfrac{1}{q}$$

donde $\displaystyle\sum_{q\le N}$ no significa más que $N$ suma q de primera potencia(incluida $q=1$ ),y Let $\omega{(n)}$ denota el número de factores primos distintos de un número entero positivo $n$

tal vez este problema de fondo es K-ésimo valor medio Estimación del número de divisores primos de números enteros véase http://www.doc88.com/p-703867145586.html

Gracias, esto es 2014 china TST prueba problema, tal vez es viejo reslut?

Gracias

Answer 1

La solución está más o menos ya escrita en sus notas. Desde $ \omega(n) = \sum_{p|n} 1$ lo has hecho: $$\omega(n)^k = \left(\sum_{p|n} 1\right)^k = \\= k\cdot\!\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{\substack{p_1,\ldots,p_k|n\\ p_1\neq p_2\neq\ldots\neq p_k}}\!\!\!\!\!\!\!\!1 + \binom{k}{2}\cdot\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{\substack{p_1,\ldots,p_k|n\\ p_1\neq p_2\neq\ldots\neq p_k}}\!\!\!\!\!\!\!\!1 + \ldots + \binom{k}{k-1}\cdot\!\!\!\sum_{\substack{p_1,p_2|n\\ p_1\neq p_2}}\!\!1+\sum_{p|n}1.$$ Ahora sumando cada término sobre $n\neq N$ y utilizando el límite bastante crudo: $$\sum_{\substack{p_1\cdot\ldots\cdot p_j\leq N\\ p_1\neq p_2\neq\ldots\neq p_j}}\!\!\!\frac{1}{p_1\cdot\ldots\cdot p_j}\leq\left(\sum_{p\leq N}\frac{1}{p}\right)^j=(\log\log N+\gamma)^j$$ lo consigues: $$\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}\omega(n)^k\leq (\log\log N + 1+\gamma)^k.$$