En esta matriz anterior, normalmente sólo diagonalizo para encontrar los valores propios/vectores propios, pero ¿cómo funcionaría esto en el caso de que la matriz resultante sea triangular superior y tenga 0 en la diagonal? Gracias.
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Bernard
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Esta matriz está en forma normal de Jordan. Si se denota $A$ la solución es $$\vec x(t)=\exp(At)\vec x(0),$$ por lo que hay que calcular el exponencial de esta matriz. Ahora $a$ es la suma $D+N$ donde $D$ es la matriz diagonal $ \lambda I$ y el matriz nilpotente $N=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}$. Furthermore $D$ and $N$ commute, so $$\exp(D+N)t=\exp Dt\,\exp Nt=\mathrm e^{\lambda t} I\,\exp Nt. $$ Now remember $\exp Nt=I+Nt+\dfrac{N^2t^2}{2}+\dfrac{N^3t^3}{3!}+\dotsm$, and observe that $$N^2=\smash[b]{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}, \qquad N^3=0,$$ para que $$\exp Nt=I+Nt+\dfrac{N^2t^2}{2}= \smash{\begin{bmatrix}1&t&\frac{t^2}2\\0&1&t\\0&0&1\end{bmatrix}},$$ and finally $$\exp At=\mathrm e^{\lambda t}I\begin{bmatrix}1&t&\frac{t^2}2\\0&1&t\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm e^{\lambda t}&te^{\lambda t}&\frac{t^2}2e^{\lambda t}\\0&e^{\lambda t}&te^{\lambda t}\\0&0&e^{\lambda t}\end{bmatrix}.$$
Rellek
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Puede ser útil escribir su matriz en $\lambda I + N$ donde $N$ es nilpotente (más exactamente, $N^3 = 0$ . Entonces, como estas matrices conmutan, puedes exponenciar cada matriz por separado y luego tomar el producto. La primera matriz se exponencia fácilmente a $$\begin{pmatrix} e^{\lambda t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{\lambda t}\\ \end{pmatrix}$$ La segunda matriz también es fácil, sólo la primera $3$ términos de la serie exponencial sobreviven. Se calcula la exponencial como $$\begin{pmatrix} 1 & t & t^2/2 \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ Entonces el producto de estas matrices es la solución de tu sistema.
