¿Qué parte de ZFC demuestran los Nuevos Fundamentos de Quine?

Question

Pregunta principal : ¿Alguien conoce alguna referencia que me pueda decir qué axiomas de ZFC de los Nuevos Fundamentos de Quine prueban, refutan y dejan indecisos?

Pregunta secundaria : He leído que los argumentos diagonales no pasan en NF y por lo tanto no se pueden utilizar para demostrar que los reales son incontables. ¿Consigue NF demostrar la incontabilidad de los reales por algún otro medio o ese hecho (normalmente expresado como " $P _1(\mathbb{N}) < P(\mathbb{N})$ " para que tengan sentido en NF) resultan ser indecidibles en NF?

Answer 1

Hola Amit,

El emparejamiento (verdadero en NF), la elección (falsa) y el infinito (verdadero) están bien documentados. Yo esperaría que Thomas Forster Supongo que habría que replantear cosas como la sustitución de forma adecuada para que la pregunta tuviera sentido en el caso de algunas fórmulas. El libro es "Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe" (Oxford Logic Guides), 1995, y puede que disfrute leyéndolo de todos modos.

Thomas también está interesado en ZF, por lo que incluso si el libro no responde completamente a su pregunta, puede ayudar a guiarlo a través de la literatura relevante si le envía un correo electrónico directamente.

En cuanto a la pregunta secundaria, bastantes hechos básicos de ZF pasan por NF cuando se reformulan como sugieres (esta es parte de la razón por la que Forster, Randall Holmes, y otros investigadores de NF, están interesados en ZF, y por la que teóricos de conjuntos como Jensen y Solovay han pensado en NF). Uno de estos hechos es el resultado de Cantor. También puede interesarle Greg Kirmayer, "A refinement of Cantor's theorem", Proceedings of the AMS 83 (4) (dic., 1981), 774.

(Envíame un correo electrónico dentro de unos días si esto no funciona, e iré al otro lado del pasillo a preguntarle a Randall).

Answer 2

Un giro que se puede dar a la pregunta es reformularla como: ¿qué axiomas de ZF(C) demuestra NF que se cumplen en los conjuntos bien fundados?
Conocemos los siguientes: extensionalidad, emparejamiento, conjunto suma, conjunto potencia, estratificado $\Delta_0$ separación. No sabemos si se puede demostrar que el infinito se mantiene en los conjuntos bien delimitados y no sabemos si todo conjunto bien delimitado tiene un superconjunto transitivo bien delimitado.

Answer 3

NF sí demuestra el teorema de Cantor en el sentido que indicas, $|\mathscr{P}_1(X)|<|\mathscr{P}(X)|$ para cualquier conjunto $X$ . La prueba habitual de ZF pasa, porque las definiciones en esa prueba que necesitan ser estratificadas para que funcione en NF, de hecho lo son. Pero si se intenta demostrar $|X|<|\mathscr{P}(X)|$ ya no se tiene la estratificación correcta, por lo que el teorema de Cantor falla en NF en este sentido (lo cual es bueno, ya que el conjunto universal $V$ no puede tener una cardinalidad menor que cualquier otro conjunto).

En general, en la NF no se puede demostrar $|X|=|\mathscr{P}_1(X)|$ porque la obvia biyección $x\mapsto \{x\}$ no tiene una definición estratificada. Una forma de aumentar la fuerza de las teorías de estilo NF es afirmar que cada vez más conjuntos son "cantorianos" en el sentido de que $|X|=|\mathscr{P}_1(X)|$ (o "fuertemente cantoriana" en el sentido de que la biyección particular $x\mapsto \{x\}$ existe). Esta idea se remonta al menos a algunos trabajos de Orey (si no recuerdo mal), y Holmes ha tenido mucho que decir al respecto. Solovay demostró algunos resultados interesantes que vinculan la fuerza de consistencia de tales axiomas adicionales (además de NFU) con grandes axiomas cardinales para ZF. Véase, por ejemplo, el artículo sobre NFUB aquí .

Answer 4

No he visto a nadie abordar específicamente la pregunta secundaria, así que he pensado en intervenir. En NF, los números naturales son cantorianos (véase la definición más arriba). Rosser's "Logic for Mathematicians" (disponible en Dover y un buen recurso) tiene una prueba detallada en la p.437. Básicamente, si $a \in n$ y $b \in m$ y $|a| = |\mathscr{P}_1(b)|$ entonces la relación de emparejamiento $n$ y $\{m\}$ resulta ser estratificada y es una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathscr{P}_1(\mathbb{N})$ . Cuando se tiene tal biyección, la prueba de Cantor se realiza de la manera habitual.

Answer 5

Aunque secundo (con una motivación muy sesgada) la recomendación del libro de Forster, para cuestiones como ésta un punto de partida más fácil que el libro de Forster o los artículos de Holmes podría ser el libro de Holmes Teoría elemental de conjuntos con un conjunto universal, originalmente el volumen 10 de los Cahiers du Centre de logique, con una versión corregida en línea en http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/head.ps .

(Esto quizás debería haber sido un comentario a la respuesta original, pero aún no tengo suficientes puntos de reputación para publicar comentarios).