El aniquilador de $n(2^n)\sin({n\pi \over 2})$

Question

Tengo que resolver este problema:

$y(n+2)-y(n)=n(2^n)\sin({n\pi \over 2})$

Y sé que el aniquilador de $n(2^n) = (E-2)^2$ pero no sé cómo encontrar la otra parte del aniquilador.

$y_p(n)=c_0+nc_1$

Answer 1

No estoy muy familiarizado con la aplicación de aniquiladores a las relaciones de recurrencia, pero la idea me pareció interesante y leí un poco. Estoy bastante seguro de que tengo una solución, pero puede que no sea la más sencilla.

Utilice la fórmula de Euler ( $ e^{i x} = \cos{x} + i \sin{x} $ ) para obtener una expresión más útil para $\sin(x)$ como sigue:

$ e^{-i x} = \cos{-x} + i \sin{-x} = \cos{x} - i \sin{x} $

Por lo tanto $ e^{i x} - e^{-i x} = (\cos{x} + i \sin{x}) - (\cos{x} - i \sin{x}) = 2i \sin(x) $

$ \therefore \sin{x} = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2i} $

Ahora, aplicando la nueva expresión, tenemos:

$$ \sin{\frac{n \pi}{2}} = \frac{e^{i \frac{n \pi}{2}} - e^{-i \frac{n \pi}{2}}}{2 i} = \frac{(e^{i \frac{\pi}{2}})^n - (e^{-i \frac{\pi}{2}})^n}{2 i} = \frac{i^n - (-i)^n}{2 i} $$

Y así $ n 2^n \sin{\frac{n \pi}{2}} = n 2^n \frac{i^n - (-i)^n}{2 i} = \frac{n}{2i}(2^n i^n - 2^n (-i)^n) = \frac{n}{2i}(2i)^n - \frac{n}{2i}(-2i)^n$

Que tiene aniquilador $ (E - 2i)^2 (E + 2i)^2 = (E^2 + 4)^2$