Si $f:R^n \to R$ es una función suave de valor real tal que $\nabla f : R^n \to R^n$ es un difeomorfismo, ¿qué se puede concluir sobre el comportamiento de $f(x)$ ¿en el infinito?

Question

Esta pregunta puede parecer peculiar, así que permítanme que la preceda diciendo que surgió mientras intentaba comprender mejor las transformaciones de Legendre, y en ese contexto es bastante natural. En cualquier caso, supongamos que $f$ es una función suave de valor real en $R^n$ tal que el mapa de gradiente $\nabla f: p \mapsto {\partial f \over \partial x_i}(p)$ , es un difeomorfismo de $R^n$ consigo misma. Por supuesto, dos condiciones necesarias para ello son que (1) la matriz hessiana ${\partial^2 f \over \partial x_i \partial x_j}(p)$ es en todas partes no-si (2) $\nabla f$ es un mapa propio, es decir si $M > 0$ el conjunto donde $ ||\nabla f|| \le M $ es compacto. Además no es difícil demostrar que estas dos condiciones son suficientes para que el gradiente sea un difeomorfismo. Ahora mi pregunta es la siguiente: si $f$ es una función de este tipo, ¿se deduce que $f$ también es adecuada, es decir $\lim_{||x||\to \infty} |f(x)| = \infty$ ? Eso es claramente así si $n = 1$ pero es un caso muy especial. En general $n$ Espero que alguien pueda mostrarme una prueba sencilla (pero tampoco me sorprendería demasiado que me mostraran un contraejemplo sencillo).

Añadido en respuesta al sencillo y muy bonito contraejemplo de Theo: Supongamos que la hessiana no sólo es no singular en todas partes, sino que incluso es definida positiva en todas partes. ¿Se puede deducir entonces que $f$ ¿es apropiado?

Answer 1

El mapa $f(x,y) = xy$ tiene $\nabla f(x,y) = \left(\begin{array}{c} y \\\ x\end{array}\right)$ pero $f(x,0) \equiv 0$ Así que $f$ no es apropiado.

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Edición en respuesta a la pregunta modificada:

La definición positiva del hessiano implica la convexidad estricta de $f$ y esto implica de hecho la propiedad de $f$ como sigue:

Puesto que usted asume que $\nabla f: {\mathbb R}^{n} \to {\mathbb R}^{n}$ es un difeomorfismo, $f$ tiene un único mínimo, a saber, el punto $x_{0}$ donde $\nabla f(x_0) = 0$ . Si $f$ no fueran adecuadas, habría una constante $M$ tal que el cerrado convexo configure $C = \{x\, :\, f(x) \leq M\}$ no es compacto. Pero entonces encontrarías una dirección $y \in \mathbb{R}^{n} \smallsetminus \{0\}$ tal que $x_{0} + t y \in C$ para todos $t \geq 0$ . La función $t \mapsto f(x_{0} + t y)$ está acotada y es convexa en $\mathbb R_{+}$ y asume su mínimo. Por lo tanto, debe ser constante, en contradicción con el hecho de que $x_0$ es el único mínimo.