La relación entre ambos es que están de acuerdo, pero en realidad se puede decir más. La variedad $Z$ en su notación es naturalmente un $\mathbb{G}_m$ torsor sobre $X$ de modo que existe una acción libre del grupo multiplicativo sobre el espacio total $Z$ de este torsor. La ecuación $\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z) \cong \oplus_k H^0(X,L^k)$ es entonces un isomorfismo de anillos graduados ,donde el lado derecho está graduado por $-k$ y el lado izquierdo por la graduación inducida a partir del $\mathbb{G}_m$ -acción. Explícitamente, la $k$ -ésima pieza del lado izquierdo consisten en funciones $f$ en $Z$ tal que $f(tx) = t^k f(x)$ para $t \in \mathbb{G}_m$ .
Para ver por qué se mantiene este isomorfismo, basta con identificar las fucniones sobre $Z$ que son homogéneas de grado $k$ con $L^{-k}$ . Para $k = 1$ esto se deduce del hecho más o menos tautológico de que los funcionales lineales (es decir, las funciones homogéneas de grado 1) a lo largo de las fibras de $L$ de acuerdo con las secciones de $L^* = L^{-1}$ . El resto de $k$ -s son similares, basta con observar que las unciones que son homogéneas de grado $k$ a lo largo de las fibras forman las secciones de un haz de líneas, y que localmente cada una de estas funciones es un producto de $k$ funciones de grado 1.
