Análisis de estabilidad del sistema dinámico $\ddot{x}+b\dot{x}+K x-\|\dot{x}\| \frac{x-x_i}{\|x-x_i\|^2}=0$ .

Question

Consideremos el sistema dinámico descrito como: $$\ddot{z}+b\dot{z}+ K z-\|\dot{z}\| \frac{z-z_i}{\|z-z_i\|^3}=0$$

donde $z=[x \ \ y]^T$ , $K$ es una matriz definida positiva y $b \in \mathbb{R}$ He realizado algunas simulaciones y, basándome en los resultados numéricos, he llegado a la conclusión de que:

1. si $b>0$ el sistema converge a $z=0$ , $z=z_i$ o un ciclo límite, es decir, estable en el sentido de Lyapunov.
2. si $b>\frac{1}{\|z_i\|}$ el sistema converge a $z=0$ o $z=z_i$ es decir, sin ciclos límite.

Sólo pude demostrar que si $b>\frac{1}{\|z_i\|}$ , $z=0$ es un punto fijo estable utilizando la función de lyapunov como: \begin{align}& V =\frac{1}{2} z^T K z +\frac{1}{2}\dot{z}^T \dot{z}\\ \implies & \dot{V}=\|\dot{z}\|^2\left(-b+ \frac{cos(\theta)}{\|z-z_i\|^2}\right) \end{align} donde $\theta$ es el ángulo entre $\dot{z}$ y $z-z_i$ por lo que si $b>\frac{1}{\|z_i\|}\implies \dot{V}|_{z=0} <0$ independiente de $cos(\theta)$ en una vecindad abierta del origen, de modo que $z=0$ es un punto fijo estable.

Intenté estudiar el sistema cerca de $z_i$ mediante perturbación e introdujo el parámetro $\mu$ al sistema como: $$\ddot{z}+b\dot{z}+ K z-(\|\dot{z}\|+\mu) \frac{z-z_i}{\|z-z_i\|^3}=0$$ para estudiar el sistema cerca de $z_i$ Elegí $\mu \gg \|\dot{z}(0)\|$ por lo que el sistema se convierte: $$\ddot{z}+b\dot{z}+ K z-\mu \frac{z-z_i}{\|z-z_i\|^3}=0$$ Elija la función de lyapunov como: $$\begin{align}&V=\frac{1}{\frac{1}{2} z^T K z +\frac{1}{2}\dot{z}^T \dot{z}+U_i}\\ \implies &\dot{V}=\frac{b\|\dot{z}\|^2}{(\frac{1}{2} z^T K z +\frac{1}{2}\dot{z}^T \dot{z}+U_i)^2} \end{align} $$ donde $U_i=\frac{\mu}{\|z-z_i\|}$ por lo que en $z=z_i$ , $V=0$ y $\dot{V}>0$ Así que $z=z_i$ es inestable. Sin embargo, si compruebo los puntos de equilibrio haciendo desaparecer las derivadas el sistema se reduce a: $$K z=\mu \frac{z-z_i}{\|z-z_i\|^3}\implies \|z-z_i\|^3 K z=\mu(z-z_i) \text{ and } z \neq z_i$$

El lado derecho puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo $\mu$ arbitrariamente pequeño, ya que $K$ es de rango completo y $z\neq 0$ por lo que debe ser que $\|z-z_i\|$ se hace arbitrariamente pequeño, es decir $z\rightarrow z_i$ . Así que el sistema tiene otro punto de equilibrio $q$ que se acerca cada vez más al nodo inestable $z_i$ . Creo que $q$ es un punto de silla de montar (no sé cómo demostrarlo) y por eso concluí que $z_i$ en mi sistema original es una bifurcación entre un nodo inestable y un nodo de silla de montar.

Mis preguntas son : ¿Cómo confirmar las afirmaciones anteriores? y ¿Cómo hacer un análisis cualitativo del comportamiento del sistema? $z_i$ ?

Answer 1

Supongo que $x_i$ es una constante y no el $i$ ª componente de $x$ .

En primer lugar, siempre es útil escribir el sistema en forma de espacio de estados. En este caso, se define $z_1 = x$ y $z_2 = \dot{x}$ tenemos

\begin{equation} \begin{bmatrix}\dot{z}_1 \\ \dot{z}_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & I_2\\ -K & -bI_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} z_1 \ z_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ \|z_2\|\frac{z_1-x_i}{\|z_1-x_i\|^2} \end{bmatrix} . \fin

Algunas observaciones: 1) el origen es el único punto de equilibrio. 2) La RHS tiene una singularidad en $x_i$ así que me sorprendería mucho que $z_1$ convergieron en $x_i$ . Tenga en cuenta que, para $z_1 \approx x_i$ El $z_2$ La ecuación heurística es la siguiente

$$ \dot{z}_2\approx \frac{\|z_2\|}{\|z_1-x_i\|}\hat{\xi}, $$

donde $\hat{\xi}$ es un vector unitario. Eso no va a ser ciertamente un equilibrio porque el RHS es enorme y se hace más y más grande cuanto más cerca $z_1$ llega a $x_i$ .

Hay muchos detalles para el caso en el que se quiere obtener una solución asintótica cerca de una singularidad.

Para el origen, probablemente sólo necesite el método indirecto de Lyapunov (que en esencia es sólo estabilidad linealizada) para la mayoría de los valores de $b$ y $K$ . Aquí sólo se necesitan valores propios con partes reales negativas para $\begin{bmatrix}0 & I_2\\ -K & -bI_2 \end{bmatrix}$ . Para los parámetros que hacen que el método indirecto no pueda concluir que la estabilidad esL, hay mucha literatura sobre teoría de perturbaciones para ayudarte.