Hola tengo una pregunta sobre el modelado de $n$ -funciones y constantes.
Primero en la categoría de conjuntos sé que el conjunto vacío $\emptyset$ es inicial porque para cualquier otro conjunto $X$ existe exactamente una función $f$ tal que $f: \emptyset \to X$ porque no hay ningún argumento para elegir en el dominio y establecer su valor, esta función es única.
Tengo algo de experiencia con lenguajes de programación funcionales y he oído que se aplica la teoría de categorías para modelarlos, pero todavía no estoy muy puesto en estas cosas. Pero me pregunté cómo modelar $n$ -funciones narias en teoría de categorías. Mis conocimientos previos son
1) Una $n$ -La función binaria en matemáticas podría modelizarse mediante productos cruzados, es decir, una función binaria sobre $\mathbb{N}$ es $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to X$ .
2) En informática y lenguajes de programación funcionales, las constantes se modelan a veces como $0$ -(y en algunos enfoques algebraicos de la teoría de modelos las constantes también se interpretan como $0$ -arias).
Pero aquí empieza mi confusión conceptual. En primer lugar, los productos cruzados de conjuntos también están en la categoría de conjuntos. Así que ahora sería un problema representar una función binaria mediante una flecha $f : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to X$ . Pero ¿cuál es la aridad de la función $f : \emptyset \to X$ . Debido a $\emptyset \times X = \emptyset$ debe tener todas las arities, es decir, tiene $0$ -aridad, $1$ -aridad, binario, etc. Así que como es $0$ -aridad también debe representar una constante, pero ¿cuál debe ser esta constante?
Pero lo que realmente me molesta, ¿cómo podría el $0$ ¿Se pueden representar las funciones -arias en la teoría de categorías (en la categoría de conjuntos) como flechas? He encontrado algunas $0$ -arias, las funciones $f: \emptyset \to X$ pero no estoy seguro de cómo podrían modelar las constantes.
¿Alguna pista o sugerencia, o mi intento de modelizar la aridad es totalmente erróneo?
