Prueba de que $[f,g](\xi):=\sum_{k\in\mathbb{Z}}f(\xi+2\pi k)\overline{g(\xi+2\pi k)}$ es $L_1((-\pi,\pi])$

Question

Estoy leyendo una nota que dice

$[f,g](\xi):=\sum_{k\in\mathbb{Z}}f(\xi+2\pi k)\overline{g(\xi+2\pi k)}$ son $L_1((-\pi,\pi])$ si $f$ y $g$ está en $L_2(\mathbb{R})$ .

Para demostrarlo, creo que el primer paso es garantizar que la serie de la derecha converge en casi todas partes . No he resuelto este paso:-(

Pero si asumo que converge a.e. A continuación argumento que la $[f,g]$ es $L_1$ . Un resultado bien conocido es si $f$ y $g$ es $L_2$ entonces $fg$ es $L_1$ . Así que $f\overline{g}$ es $L_1$ . Desde $L_1$ es un espacio vectorial, $\sum_{|k|\lt N}f(\xi+2\pi k)\overline{g(\xi+2\pi k)}$ es $L_1$ . Por la integridad de $L_1$ llega que $\sum_{k\in\mathbb{Z}}f(\xi+2\pi k)\overline{g(\xi+2\pi k)}$ es $L_1$ si existe el límite. Así que $[f,g]$ es $L_1$ si puedo probar el primer paso.

Mi pregunta es cómo demostrar el primer paso, y si el argumento anterior está bien.

Actualización: Creo que mi argumento del segundo paso es totalmente erróneo.

Answer 1

• Desde $|f|,|g| \in L^2$ por Cauchy-Schwarz $$\int_{-\infty}^\infty |f(x)g(x)|dx = \langle |f|,|g| \rangle \le \|f\|_{L^2}\|g\|_{L^2}$$ para que $fg \in L^1$

• Por definición $$\int_{-\infty}^\infty |f(x)g(x)|dx = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_k^{k+1} |f(x)g(x)|dx = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_0^1 |f(x+k)g(x+k)|dx$$ para que $\sum_{k \in \mathbb{Z},|k| > m} \int_0^1 |f(x+k)g(x+k)|dx$ converge y $\to 0$ comme $m \to \infty$ .

• El último paso es dejar que $h_n(x) = \sum_{k=-n}^n f(x+k)g(x+k)$ con $m < n$ tienes $$\|h_n-h_m\|_{L^1([0,1])} = \int_0^1 |\sum_{m<|k|\le n}f(x+k)g(x+k)|dx $$ $$\le\sum_{m<|k|\le n} \int_0^1 |f(x+k)g(x+k)|dx \le\sum_{|k|> m} \int_0^1 |f(x+k)g(x+k)|dx$$ para que $\|h_n-h_m\|_{L^1([0,1])} \to 0$ comme $n > m \to \infty$ y $h_n$ es una sucesión de Cauchy en $L^1([0,1])$ .

• Por lo tanto, el límite $h(x) = \lim_{n \to \infty} h_n(x)$ está en $L^1([0,1])$

Answer 2

Esta afirmación no es cierta.

Sea $f\in L^2$ . Por mi respuesta a su última pregunta , $[f,f](\xi)$ existe para casi todos los $\xi\in \mathbb{R}$ . Sin embargo, $[f,f]$ no está en $L^1$ : $$ \int_{\mathbb R}[f,f](\xi)\,d\xi=\int_{\mathbb R}\sum_{k\in\mathbb Z}|f(\xi+2\pi k)|^2\,d\xi=\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}|f(\xi+2\pi k)|^2\,d\xi=\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb{R}}|f(\xi)|^2\,d\xi=\infty. $$

Answer 3

La siguiente prueba es diferente de la que se expone en su pregunta. Se basa principalmente en resultados de la teoría de la medida y la integración, y no utiliza la completitud de $L^1$ explícitamente.

Sea $f, g \in L^2 (\mathbb{R})$ . Entonces

$$ \int_{[-\pi, \pi]} \bigg| [f,g](\xi)\bigg| \; d\xi \leq \int_{[-\pi, \pi]} \sum_{k \in \mathbb{Z}} | f(\xi + 2\pi k) g (\xi + 2\pi k) |\; d\xi , $$ y por el teorema de Beppo-Levi, $$ \int_{[-\pi, \pi]} \sum_{k \in \mathbb{Z}} | f(\xi + 2\pi k) g (\xi + 2\pi k) |\; d\xi = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{[-\pi, \pi]} | f(\xi + 2\pi k) g (\xi + 2\pi k) |\; d\xi. $$ Observando ahora que $\mathbb{R} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [-k, k]$ y un cambio de variable da como resultado $$ \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{[-\pi, \pi]} | f(\xi + 2\pi k) g (\xi + 2\pi k) | \;d\mu(\xi) = \int_{\mathbb{R}} | f(\xi + 2\pi k) g (\xi + 2\pi k) | \;d\xi < \infty,$$ como desee.