¿Por qué no todas las acciones son conformemente invariantes?

Question

Estoy muy confundido acerca de la invariancia de coordenadas de las acciones en las teorías de campo clásicas en un espaciotiempo de fondo arbitrario o incluso con una métrica dinámica. En esta pregunta vemos que si el término integrado, a saber, la densidad lagrangiana, de la acción está bien definido, es decir, es un tensor 0 (un escalar), entonces la acción es necesariamente invariante de coordenadas.

Ahora, como transformación conforme es un tipo particular de transformación de coordenadas, ¿no debería cualquier acción ser conformemente invariante? Sé que sin duda es falso, pero me interesa mucho una explicación rigurosa.

Answer 1

Tenga en cuenta que las palabras "transformación conforme" pueden significar cosas ligeramente diferentes en distintos lugares. Pero las transformaciones conformes, en el sentido en que se usan en las teorías de campos conformes, son no sólo transformaciones de coordenadas. En cambio, son una transformación simultánea de coordenadas y de campo, de modo que la métrica permanece invariante.

Esto a menudo parece bastante impar, ya que normalmente sólo se habla de las transformaciones conformes como transformaciones de coordenadas, pero si se sigue con atención lo que ocurre en fuentes como el Di Francesco y en El texto revelará que, aunque realizan transformaciones de coordenadas, siempre emplean la métrica plana. El libro de cuerdas de Polchinski es un poco más explícito al respecto.

Pero si quieres la verdadera prueba de que las transformaciones conformes, tal y como aparecen en las CFTs, no son sólo transformaciones de coordenadas, no hay más que ver la transformación del tensor de tensiones bajo dicha transformación. Esta regla de transformación se puede encontrar en cualquier fuente sobre CFT y suele ser una de las primeras cosas que se escriben/derivan. Notarás que la transformación no es simplemente la transformación de un tensor de rango 2 bajo una transformación de coordenadas. En su lugar hay un término adicional (el Schwartziano) en la regla de transformación que proviene del hecho de que estamos transformando la métrica directamente como un campo al mismo tiempo (es la transformación simultánea de Weyl).

Para un par de referencias específicas, véase la ecuación (4.31) en Apuntes de teoría de cuerdas de David Tong o la ecuación (2.4.26) del libro de cuerdas de Polchinski.

Answer 2

Es mejor no dejar que nadie se salga con la suya diciendo que todas las teorías físicas son generalmente covariantes. La gravedad lo es, pero nada más. Si quiere considerar pasivo transformaciones de coordenadas, sólo estás realizando una sustitución en la integral y \begin{align} S = \int d^dx \mathcal{L}[\phi(x)] = \int d^dx^\prime \left | \frac{dx^\prime}{dx} \right |^{-d} \mathcal{L}[\phi(x^\prime)] \end{align} son dos formas equivalentes de escribir la acción. Normalmente elegimos la primera, pero esto es sólo notación. Existe la posibilidad de aprender algo útil sobre la teoría si también consideramos activo transformaciones. En este caso, \begin{equation} S^\prime = \int d^dx^\prime \left | \frac{dx^\prime}{dx} \right |^{-d} \mathcal{L}[\phi^\prime(x^\prime)] \end{equation} es una acción diferente porque el $\phi^\prime(x^\prime)$ son funciones diferentes. Cómo podrían expresarse en términos de $\phi(x)$ de nuevo (es decir, qué representación proporcionan) depende de nosotros o de quien nos haya entregado la teoría. Si conspiran para hacer $S^\prime = S$ entonces la transformación particular que usamos será una simetría de la teoría.

Por razones obvias, los campos se definen a menudo en representaciones irreducibles del grupo de Lorentz para que sepamos cómo variar la acción bajo una transformación de Lorentz. Y, a menos que estemos haciendo algo extraño, el Lagrangiano también contraerá todos los índices para que efectivamente obtengamos cero. Para las transformaciones de escala, la situación es un poco diferente. De nuevo, las representaciones se conocen de antemano, ya que la dimensión de ingeniería es fácil de leer. Pero ahora la variación de una acción como \begin{equation} S = \int d^dx \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial_\mu \phi + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \end{equation} da lugar a un término proporcional a $m^2$ que es una escala intrínseca de la teoría. Esto nos dice que, aunque podamos utilizar centímetros en lugar de metros, no existe simetría conforme. Hacer que tu regla sea 100 veces más larga ya no te dará las mismas predicciones a menos que también cambies la teoría a una en la que la masa sea 100 veces más pequeña.

Como señala la respuesta anterior, la necesidad de considerar cómo se transforman los campos es primordial. Sin embargo, los detalles sobre la mejora en infinitas dimensiones de la simetría conforme que existe en dos dimensiones son tangenciales. La cuestión es que, se trabaje o no con campos que se sabe que se transforman como tensores, sólo teorías muy especiales vienen dadas por una acción que también lo hace.