Una colección de intervalos que pueden cubrir cualquier conjunto de medida cero

Question

Se trata de una continuación de esta pregunta (de hecho, esto es lo que originalmente me motivó a preguntar eso).

Digamos que una secuencia $\{s_i\}$ de reales positivos cubre un conjunto $X\subset\mathbb R$ si existe una colección si intervalos $\{I_i\}$ tal que $X\subset\bigcup I_i$ y la longitud de cada $I_i$ es igual a $s_i$ .

¿Existe una secuencia $\{s_i\}$ tal que $\sum s_i<\infty$ y $\{s_i\}$ cubre cualquier conjunto de medida de Lebesgue cero?

Por ejemplo, cosas tan simples como las progresiones geométricas no funcionan: no pueden cubrir una unión de infinitas copias de un conjunto compacto de dimensión Hausdorff positiva, separadas por una distancia de al menos $\max_i \{s_i\}$ unos de otros.

(Perdón por la extraña colección de etiquetas. Es difícil saber de antemano a qué área pertenece realmente esta pregunta).

Answer 1

No. Si puedes cubrir cada conjunto de medidas $0$ por tu secuencia de intervalos, puedes ciertamente escalar (encoger todos los intervalos cierto número de veces) y aún así tener cobertura (sólo cubrir el conjunto expandido por la secuencia original) . Si $\sum s_j<+\infty$ entonces $\sum H(s_j)<+\infty$ para alguna función de medida $H$ con $H(x)/x\to+\infty$ comme $x\to 0$ . Así, todo conjunto de medida $0$ tendría la medida de Hausdorff asociada a $H$ cero, lo que puede descartarse mediante la construcción estándar de Cantor.