Cómo evaluar $ \int_{0}^{2015}e^{e^{e^{e^{2015x}}}}e^{e^{e^{2015x}}}e^{e^{2015x}}e^{2015x}dx $?

Question

Necesito evaluar la siguiente integral.

$$\int_{0}^{2015}e^{e^{e^{e^{2015x}}}}e^{e^{e^{2015x}}}e^{e^{2015x}}e^{2015x}dx. $$

Pero todavía no tengo idea de cómo hacerlo. Puede alguien por favor me dan una ayuda? Muchas gracias.

Answer 1

Si no ver de inmediato, usted puede comenzar con la sustitución

$$u_1=e^{2015x},du_1=2015e^{2015x}$$

$$\int_0^{2015}e^{e^{e^{e^{2015x}}}}e^{e^{e^{2015x}}}e^{e^{2015x}}e^{2015x}dx=\frac1{2015}\int_1^{e^{2015^2}}e^{e^{e^{u_1}}}e^{e^{u_1}}e^{u_1}du_1$$

Pasamos de un producto de cuatro cosas a un producto de tres. Y podemos seguir adelante con $u_2=e^{u_1}$ $u_3=e^{u_2}$ al $\frac1{2015}\int e^{u_3}du_3$. La parte difícil es el de los límites. Si quieres que las cosas funcionen de nuevo, sin embargo, se puede ver que $u_3=e^{e^{e^{2015x}}}$. Así tenemos

$$\frac1{2015}\int_{e^{e^{e^0}}}^{e^{e^{e^{2015(2015)}}}}e^{u_3}du_3=\frac1{2015}(e^{e^{e^{e^{2015^2}}}}-e^{e^e})$$

Answer 2

En repetidas ocasiones con la sustitución de $u=e^{2015x}$ da $$ \begin{align} \int_0^{2015}e^{e^{e^{e^{2015x}}}}e^{e^{e^{2015x}}}e^{e^{2015x}}e^{2015x}\,\mathrm{d}x &=\frac1{2015}\int_1^{e^{2015^2}}e^{e^{e^{2015x}}}e^{e^{2015x}}e^{2015x}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1{2015^2}\int_{e^{2015}}^{e^{2015e^{2015^2}}}e^{e^{2015x}}e^{2015x}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1{2015^3}\int_{e^{2015e^{2015}}}^{e^{2015e^{2015e^{2015^2}}}}e^{2015x}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1{2015^4}\int_{e^{2015e^{2015e^{2015}}}}^{e^{2015e^{2015e^{2015e^{2015^2}}}}}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1{2015^4}\left({e^{2015e^{2015e^{2015e^{2015^2}}}}}-e^{2015e^{2015e^{2015}}}\right) \end{align} $$

Answer 3

Sugerencia: Sustituya $ u=e^{e^{e^{2015x}}}e^{e^{2015x}}e^{2015x} $.

A continuación, $$ du=2015e^{2015x+e^{e^{2015x}}+e^{2015x}}dx . $$

Por lo tanto, $$\int e^{e^{e^{e^{2015x}}}}e^{e^{e^{2015x}}}e^{e^{2015x}}e^{2015x}dx=\int \frac{ue^{u-e^{e^{2015x}}}}{2015}dx \dots $$