Por favor, sea amable si la pregunta es estúpida.
Cuando se utiliza la transformada de Laplace, a menudo se multiplica la función de interés por una función de paso unitario desplazada para operar sobre la parte positiva de la función, ya que la transformada de Laplace está definida desde el tiempo=0 hasta el infinito. ¿Por qué podemos hacer esta multiplicación? ¿Por qué no es una convolución?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Fly_NighT
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Tus preguntas no son estúpidas. De hecho, son las preguntas más importantes, que no debe olvidar al realizar un análisis de señales y sistemas. Esto es así porque si aplicas erróneamente la función escalón unitario a una señal concreta, el análisis seguramente será erróneo (en ingeniería, puede hacer caer un puente, casi sin exagerar...).
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Si no está completamente interiorizado o no entiende las respuestas de aquí , consulte mi respuesta a la siguiente pregunta que explica un poco más detalladamente el asunto: Transformada unilateral de Laplace frente a transformada bilateral de Fourier .
1. ¿Por qué podemos hacer esta multiplicación?
Esta multiplicación se realiza para que un sistema adquiera el comportamiento de un sistema físico, o más concretamente, el comportamiento de un sistema causal, ya que: $$ h(t) \mbox{ is a casual system} \quad\Leftrightarrow\quad \forall t\in\mathbb{R},\, t < 0:\quad h(t) = 0 $$ $$ \therefore\quad h(t)u(t) \mbox{ is always a casual system} $$ Tenga en cuenta que no siempre debe multiplicar un sistema para la función de paso unitario. De hecho, si un sistema no es causal, entonces nunca se debe multiplicar la función del sistema $h(t)$ por la función escalón unitario. En resumen:
- Sistema causal (sistema no anticipatorio) : multiplica siempre por el paso unitario.
- Sistema no causal (sistema anticipativo) : nunca multiplicar por el paso unitario.
El motivo se explica en mi respuesta del enlace anterior.
2. ¿Por qué no es una convolución?
Dado que el objetivo de la transformada de Laplace es sólo evitar la convolución. La convolución es difícil de calcular y necesita mucha potencia de cálculo, mientras que una transformada simplifica el proceso de convolución a una simple multiplicación. $$ y(t) = h(t) \ast x(t) \quad\xrightarrow{\mathcal{L}}\quad Y(s) = H(s) X(s) $$ De nuevo, la razón de esto se explica en mi respuesta en el enlace anterior.
