¿Qué estructura algebraica encierra la multiplicación de un vector por una matriz?

Question

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ resumiendo : ¿De qué manera $w = T(v)$ "lo mismo" que $[w]_C = {}_C [T]_B [v]_B$ ? Aquí $V,W$ son espacios vectoriales, $B,C$ son sus respectivas bases, y $v \in V$ , $w \in W$ , $T \in \operatorname{Hom}(V,W)$ .

Fondo

Sea $V,W$ sean espacios vectoriales de dimensión finita (sobre $\R$ ) de dimensión $n,m$ respectivamente. Eligiendo bases $B,C$ de estos espacios, obtenemos isomorfismos $f:V \rightarrow \R^n$ y $g:W \rightarrow \R^m$ pero normalmente denotamos las imágenes de estos mapas por $[v]_B$ y $[w]_C$ en lugar de $f(v)$ y $g(w)$ .

Además, si tenemos un mapa $T \in \operatorname{Hom}(V,W)$ podemos representarla como una matriz ${}_C [T]_B \in M_{m \times n}(\R)$ tal que si $w = T(v)$ entonces:

$$ [w]_C = {}_C [T]_B [v]_B $$

En particular, el mapa $\operatorname{Hom}(V,W) \rightarrow M_{m \times n}(\R) : T \mapsto {}_C [T]_B$ es un isomorfismo.

En resumen, elegir bases $B$ y $C$ produce isomorfismos $V \rightarrow \R^n$ , $W \rightarrow \R^m$ y $\operatorname{Hom}(V,W) \rightarrow M_{m \times n}(\R)$ . Sin embargo, hace más que eso: preserva cierta operación entre estos espacios. Por un lado tenemos la aplicación de una función a un espacio vectorial, y por otro tenemos la multiplicación de matrices, y estas operaciones funcionan de la misma manera cuando identificamos los elementos correctamente. Es como si tuviéramos un operador $\mathcal{M}$ que funciona así:

$$ \mathcal{M}\{w\} = \mathcal{M}\{T(v)\} = \mathcal{M}\{T\} \mathcal{M}\{v\} $$

Esto recuerda mucho a un homomorfismo de grupo, y sin embargo no es eso ya que los elementos $\mathcal{M}$ se aplica para pertenecer a espacios diferentes. Sin embargo, es sugerente de una estructura algebraica mayor en la que ocurre todo esto, y con respecto a la cual los "mapas lineales" y la "multiplicación de matrices" son lo mismo (o, si se quiere, isomorfos).

Mi pregunta es: ¿qué estructura algebraica (si existe) encierra esta idea?

Answer 1

Echa un vistazo a las 15 primeras páginas de la obra de Saunders Maclane Teoría de categorías para el matemático en activo . Concretamente en la página 11 hay algo sobre la categoría de matrices.

Creo que lo que estás describiendo es un functor de la categoría de dimensión finita $F$ -a la categoría de matrices sobre $F$ .

Answer 2

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ He aquí una estructura que he creado, que parece un poco artificiosa.

A espacio cartográfico lineal sobre un campo $\mathbb{F}$ es un triple $(V,M,W)$ de espacios vectoriales sobre $\mathbb{F}$ junto con una operación bilineal $\cdot : M \times V \rightarrow W$ .

Dados dos espacios cartográficos lineales $(V_1, M_1, W_1)$ y $(V_2, M_2, W_2)$ , a homomorfismo lineal del espacio cartográfico es un triple $(f_V, f_M, f_W)$ de funciones lineales $f_V : V_1 \rightarrow V_2$ , $f_M : M_1 \rightarrow M_2$ y $f_W : W_1 \rightarrow W_2$ tal que:

$$ f_W(m \cdot v) = f_M(m) \cdot f_V(v) \qquad \qquad \forall v \in V_1, \forall m \in M_1 $$

EDIT: Concretamente, $(\R^n, M_{m \times n}(\R), \R^m)$ es un espacio cartográfico lineal. Si $V,W$ son espacios vectoriales, también lo es $(V, \operatorname{Hom}(V,W), W)$ . Además, si $V,W$ tienen dimensión $n,m$ y elegimos bases $B,C$ para ellos, luego el triple:

$$ \left(v \mapsto [v]_B, T \mapsto {}_C[T]_B, w \mapsto [w]_C \right) $$

es un homomorfismo lineal del espacio cartográfico de $(V, \operatorname{Hom}(V,W), W)$ a $(\R^n, M_{m \times n}(\R), \R^m)$ .