¿Ejemplo de dos funciones integrables/variables aleatorias cuyo producto no es integrable?

Question

Si dos funciones/variables aleatorias son integrables e independientes, entonces su producto es integrable. ¿Y si no son independientes? ¿Cuál es un ejemplo?

Lo que probé:

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Sea $X, Y \in \mathscr L^{1}(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$ .

Considere $X$ y $X - Y$ w/ $X$ que tiene un segundo momento infinito pero un primer momento finito.

Entonces

$$E[X(X-Y)] = E[X^2] - E[XY] = \infty$$

suponiendo que $-\infty \le E[XY] < \infty$ e indeterminado en caso contrario. En cualquier caso, $X(X-Y)$ no es integrable.

Por ejemplo $X$ que tiene una distribución student-t con dos grados de libertad y $Y$ puede ser cualquier cosa integrable, supongo.

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Si es así, ¿qué ejemplos son mejores/simples (en su opinión) o más conocidos (por lo que ha observado)?

Si eso es incorrecto, qué parte es incorrecta, por qué, y por favor proporcione ejemplos.

Answer 1

Sea $U$ sea una variable aleatoria uniforme en $(0,1]$ . Sea $X=Y=U^{-1/2}$ . Entonces $E[X]=E[Y]=2$ pero $E[XY]=+\infty$ .

Se pueden poner montones de ejemplos de funciones así, que no son integrables pero su raíz cuadrada sí lo es, porque diverge "más lentamente".

En un espacio de medida infinito también se puede dar el fenómeno contrario con la cola: $x^{-2}$ es integrable en $[1,\infty)$ pero su raíz cuadrada no, porque decae más lentamente. Pero esto es imposible en un espacio de medida finito.