Es $W = \{(x,y,1)| x,y \in\mathbb R\}$ un subespacio de $V$ ?

Question

Para algunos $a,b\in\mathbb R$ , $a(x_1,y_1,1)+b(x_2,y_2,1)= (ax_1+bx_2,ay_1+by_2,a+b)$ que no está en forma de $(x,y,1)$ ¿podría esto significar $W$ ¿no es un subespacio?

Answer 1

Esto no está completo. Podrías tener la mala suerte de que $a+b$ resulta ser $1$ . Hay que demostrar que no siempre es así.

Por eso es mejor utilizar números reales que letras. Por ejemplo, si utiliza $2$ y $3$ en lugar de $a$ y $b$ se obtiene $$ 2(x_1,y_1,1)+3(x_2,y_2,1)=(2x_1+3x_2,2y_2+3y_2,5) $$ demostrando que esta combinación lineal no está en $W$ desde $5\neq1$ .

Alternativamente, el vector cero claramente no está en $W$ por lo que también deja de ser un espacio vectorial.