Los métodos para evaluar el $ \int _{a }^{b }\!{\frac {\ln \left( tx + u \right) }{m{x}^{2}+nx +p}}{dx} $

Question

Hoy vi a una pregunta con una respuesta que me hizo replantear de la siguiente pregunta, ya que no es la primera vez que trato de encontrar una respuesta a la misma. Si usted mira la respuesta de Mhenni Benghorbal
aquí verás $2$ interesante integrales, a saber: $$ \int _{0 }^{\infty }\!{\frac {\ln \left( u \right) }{2+{u}^{2}- 2\,u}}{du} ; \int _{0}^{\infty }\!{\frac {\ln \left( z \right) }{2+{z}^{2}+2\,z}}dz $$ Trato de averiguar si hay una estrategia bien definida para abordar este tipo de integrales. En un sentido más general, tenemos que lidiar con:

$$ \int _{a }^{b }\!{\frac {\ln \left( tx + u \right) }{m{x}^{2}+nx +p}}{dx} $$

Podría ayudar aquí? Gracias.

Answer 1

Los problemas relacionados con: (I), (II). Usted puede utilizar el parcial fracción técnica combinada con el uso de la dilogarithm función de $\operatorname{Li}_{2}(x)$, el cual es definido por

$$\operatorname{Li}_{2}(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln(t)}{1-t} \,dt \,.$$

He aquí un ejemplo,

$$ \int_{a}^{b} \frac{\ln(x)}{cx+d}dx =- \frac{1}{d}\left( \operatorname{Li}_{2}\left( {\frac {c+da}{c}} \right) +\ln \left (\right) \ln \left( {\frac {c+da}{c}} \right) -\operatorname{Li}_{2} \left( { \frac {c+bd}{c}} \right) -\ln \left( b \right) \ln \left( {\frac {c+ bd}{c}} \right) \right) $$

Tenga en cuenta que la integral anterior es indefinido para $$ \left(a < -\frac{c}{d}, -\frac{c}{d} < b \right) $$

Answer 2

Has visto http://www.recreatiimatematice.ro/arhiva/articole/RM12011DICU.pdf

Para la respuesta parcial