Divisibilidad polinómica de alto grado

Question

El problema es:

Demuestra que $x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1$ es divisible por $x^4+x^3+x^2+x+1$

No estoy seguro de cómo abordar este problema, por lo que cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA:

Ambos son de la serie Geometric

$$1+x+x^2+x^3+x^4=\frac{1-x^5}{1-x}$$ y $$1+x^{11}+x^{22}+x^{33}+x^{44}=\frac{1-x^{55}}{1-x^{11}}$$

Así que.., $$\frac{1+x^{11}+x^{22}+x^{33}+x^{44}}{1+x+x^2+x^3+x^4}=\frac{(1-x^{55})(1-x)}{(1-x^{11})(1-x^5)}$$

Ahora con Demostrar que $\gcd(a^n - 1, a^m - 1) = a^{\gcd(n, m)} - 1$ ,

$1-x^{55}$ es divisible por $1-x^5,1-x^{11}$ y

$(1-x^{11},1-x^5)=1-x$

Answer 2

${\rm mod} \dfrac{(x^5\!-\!1)}{(x\!-\!1)}:\,\ \color{#c00}{x^5\equiv 1}\,\Rightarrow\,x^{11n}\equiv x^n (\color{#c00}{x^5})^{2n}\equiv x^n\Rightarrow\,x^{44}\!+\!x^{33}\!+\cdots+1\equiv x^4\!+\!x^3\!+\cdots+1\equiv 0$

Answer 3

No es difícil ver que $x^5-1$ divide $x^{55}-1$ .

Así $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ divide $(x^{11}-1)(x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1)$ y por lo tanto

$x^4+x^3+x^2+x+1$ divide $(x^{10}+x^9+\cdots +x+1)( x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1)$ .

Pero $x^4+x^3+x^2+x+1$ y $x^{10}+x^9+\cdots +x+1$ son relativamente primos (utilice el algoritmo euclídeo).

El resultado es el siguiente.

Answer 4

Prueba la división larga polinómica simple. Si te da problemas, inténtalo con un ejemplo más pequeño como $x^4-2x^3+4x^2-x+7$ dividido por $x^2-3$ .

En tu problema original, deberías encontrar que el cociente es ....

$x^{40}-x^{39}+x^{35}-x^{34}+x^{30}-x^{28}+x^{25}-x^{23}+x^{20}-x^{17}+x^{15}-x^{12}+x^{10}-x^6+x^5-x+1$