Prueba de la finitud de los grupos Selmer en la Aritmética de Curvas Elípticas de Silverman

Question

Tengo problemas para entender la prueba del Lemma X.4.3 en Silverman's Arithmetic of Elliptic Curves (2ª edición), que afirma que $H^1(G_{\bar{K}/K}, M; S)$ es finito. En la página 334, el libro establece el mapa $$Hom(G_{L/K}, M; S) \rightarrow Hom(G_{\bar{K}/K}, M; S)$$ es un isomorfismo. Pero no puedo entender por qué esto es cierto.

La sqeuencia de restricción de inflación de la cohomología de Galois $$0 \rightarrow Hom(G_{L/K}, M; S) \rightarrow Hom(G_{\bar{K}/K}, M; S) \rightarrow Hom(G_{\bar{K}/L}, M; S)$$ dice que si el mapa anterior es isomorfismo entonces la imagen del mapa derecho en la secuencia exacta es {0}. Esto significa que las restricciones de $Hom(G_{\bar{K}/K}, M; S)$ a $G_{\bar{K}/L}$ es un mapa trivial. El libro afirma que esto es cierto porque $mM = 0$ y $G_{L/K}$ tiene exponente $m$ .

Si $\sigma \in (G_{\bar{K}/K})^m$ entonces $f(\sigma) = 0$ para todos $f \in Hom(G_{\bar{K}/K}, M; S)$ . Y $(G_{\bar{K}/K})^m \subset G_{\bar{K}/L}$ .

Pero no puedo deducir lo siguiente, que es lo que quiero demostrar.

Si $\sigma \in G_{\bar{K}/L}$ entonces $f(\sigma) = 0$ para todos $f \in Hom(G_{\bar{K}/K}, M; S)$ .

¿Cómo puedo demostrar este hecho?

Answer 1

He solucionado este problema. Agradezco los comentarios informativos de Ferra.

Sea $f \in Hom(G_{\bar{K}/K},M;S)$ y $K_f$ el campo fijo de $\ker(f)$ . Entonces $K_f$ es una extensión abeliana de $K$ con exponente $m$ que no está ramificado fuera de $S$ .

$\because$ $K_f$ es abeliano porque $M$ es abeliano,

$K_f$ no está ramificado fuera de $S$ porque $f$ es trivial en los grupos de inercia $I_v$ ( $v \not\in S$ ),

y $K_f$ tiene exponente $m$ porque $mM = 0$ así que $G_{\bar{K}/K}^m \subset \ker(f)$ .

Por lo tanto, según la definición de $L$ , $K_f \subset L$ . Es decir $f$ es trivial en $G_{\bar{K}/K}$ que es lo que quiero decir.