Convertir curvas en curvas monótonas sin introducir intersecciones

Question

Todas las funciones son continuas. Para $f:A\to X\times Y$ definimos $f_x$ y $f_y$ tal que $f(t) = (f_x(t),f_y(t))$ .

$I=[0,1]$ es el intervalo unitario. Una curva completa $f:I\to I\times Y$ es una curva simple con $f_x(t)=t$ para $t\in\{0,1\}$

Me interesa la pregunta

$f,g:I\to I\times Y$ son curvas completas y $f(I)\cap g(I) = \emptyset$ . ¿Existe siempre un hogar estrictamente creciente $h:I\to I$ tal que $f^*(t) = (t,f_y(t))$ , y $g^*(t) = (h(t),g_y(t))$ y $f^* (I)\cap g^* (I)$ ¿está vacío?

Si $Y=I$ entonces tengo una prueba que utiliza esencialmente el teorema de la curva de Jordan. Aquí es un esbozo de la parte más difícil de la prueba.

Me pregunto si esto es válido en general.

Answer 1

Esto no siempre es posible. El siguiente es un contraejemplo.

Sea $S^1=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2=1\}$ y que $I=[0,1]$ como siempre. Ahora, definamos $$Y = S^1\cup (I\times\{0\}),$$ es decir, un círculo con un "pelo". Sea $$\phi:[0,1]\to S^1, \phi(t)=(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$$ sea la parametrización habitual del círculo. Definiremos $f$ y $g$ mediante fórmulas explícitas: $$f(t)=\begin{cases}(t,\phi(t+\frac12));&t\in[0,\frac12],\\ (t,\phi(t-\frac12));&t\in[\frac12,1],\end{cases}$$ y $$g(t)=\begin{cases}(2t,\phi(2t+\frac14));&t\in[0,\frac38],\\ (\frac32-2t,(-2t+\frac74,0));&t\in[\frac38,\frac12],\\ (\frac32-2t,(2t-\frac14,0));&t\in[\frac12,\frac58],\\ (2t-1,\phi(2t-\frac54));&t\in[\frac58,1].\end{cases}$$

Es fácil comprobar que $f(I)\cap g(I)=\emptyset$ . Además, tenga en cuenta que $f^*=f$ . Ahora argumentaremos por contradicción. Supongamos que el homeomorfismo $h$ (y por tanto $g^*$ ) existe, como en la pregunta. Las siguientes desigualdades son fáciles de verificar: $$h(\frac38)>\frac12>h(\frac58).$$ (Si falla la primera, tenemos $f^*([0,\frac12])\cap g^*([0,\frac38])\neq\emptyset$ y si la segunda falla, tenemos $f^*([\frac12,1])\cap g^*([\frac58,1])\neq\emptyset$ por el teorema del valor intermedio).

Pero esto es una contradicción: $h$ debía ser estrictamente creciente. (Espero tener más tiempo más tarde para incluir algunas fotos).

Answer 2

Sólo como añadido a @dejan-govc. Aquí está el código de mathematica para trazar $f$ y $g$ .

Como aquí no hay percepción de profundidad, no es obvio que no haya intersecciones, pero uno mismo puede ejecutar el código y ver la imagen en 3D.

Phi[t_] := {Cos[2*Pi t], Sin[2*Pi t]};
f[t_] := Piecewise[
   {
    {Join[{t}, Phi[t + 1/2]], 0 <= t < 1/2},
    {Join[{t}, Phi[t - 1/2]], 1/2 <= t < 1}
    }];
g[t_] := Piecewise[
   {
    {Join[{2 t}, Phi[2 t + 1/4]], 0 <= t < 3/8},
    {Join[{3/2 - 2 t}, {-2 t + 7/4, 0}], 3/8 <= t < 1/2},
    {Join[{3/2 - 2 t}, {2 t - 1/4, 0}], 1/2 <= t < 5/8},
    {Join[{2 t - 1}, Phi[2 t - 5/4]], 5/8 <= t <= 1}
    }];
ParametricPlot3D[{f[t], g[t]}, {t, 0, 1}]