¿Cuál es la virtud de los grupos profinitos como objetos matemáticos?

Question

En mi propia investigación utilizo grupos profinitos con bastante frecuencia (para grupos de Galois y grupos fundamentales etale). Sin embargo, su uso es meramente contable: Sólo me interesan los niveles finitos (extensiones de Galois finitas; cubiertas finitas) y por eso tomo su límite inverso. Entonces varios argumentos "topológicos" sólo significan: mira los niveles finitos (esto ocurre porque los cocientes por los subgrupos abiertos corresponden exactamente a los niveles finitos que me importan).

Hay gente que utiliza los grupos profinitos con más atención que yo, y sospecho que les ven algún valor como objetos matemáticos. Así que mi pregunta es la siguiente:

Pregunta

¿Qué teoremas/propiedades son buenos sobre los grupos profinitos que no surgen trivialmente de su naturaleza contable (así, por ejemplo, los teoremas de Sylow profinitos están descalificados, porque surgen trivialmente de la teoría de grupos de nivel finito). ¿Qué nos recompensa, si es que nos recompensa algo, por tratar con este nuevo tipo de objeto en lugar de con los niveles finitos? (de nuevo, salvo que facilita la toma de notas).

Answer 1

En términos más generales, cabe preguntarse "¿qué sentido tiene construir límites o colímites de diagramas de objetos en lugar de trabajar directamente con los diagramas?". Una respuesta genérica es que un diagrama de objetos de una categoría describe un functor, y es útil saber que ese functor es representable. Por ejemplo, si los objetos $X_1, X_2$ en una categoría tienen un producto $X_1 \times X_2$ esto es equivalente a la afirmación de que el functor $\text{Hom}(-, X_1) \times \text{Hom}(-, X_2)$ es representable. Así que ahora sabes que este functor lleva colímitos a límites, lo cual es nueva información.

Otra respuesta genérica es la siguiente. Cada vez que construyas un objeto $X$ como límite de un diagrama de otros objetos $X_i$ en una categoría, usted sabe lo que los mapas en $X$ parecen por definición (sistemas compatibles de mapas en el $X_i$ ). Lo que no sabes es lo que los mapas de $X$ y esto es nueva información que se obtiene de la existencia de $X$ . Por ejemplo, el límite del diagrama vacío es el objeto terminal $1$ y mientras que los mapas en $1$ son triviales, mapas fuera de $1$ ("puntos globales") no lo son; en la categoría de esquemas sobre un campo $k$ por ejemplo (¡un ejemplo dentro de otro ejemplo!), corresponden a $k$ -puntos.

Especializando en la teoría de Galois, cuando se construye un grupo de Galois $G$ como límite de grupos de Galois finitos $G_i$ la nueva información a la que tiene acceso es, por ejemplo, la teoría de la representación de $G$ . No sé cómo se podría hablar de la correspondencia entre las formas modulares y las representaciones bidimensionales de Galois sin tener acceso directo al grupo $\text{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ por ejemplo.

Answer 2

Ciertamente, hay situaciones en las que basta con considerar el diagrama de grupos finitos, por ejemplo, la imagen de cualquier mapa continuo de un grupo profinito a $GL_n(\mathbb{C})$ es finito. Si sólo te preocupan esas familias de representaciones, no tienes que preocuparte por los grupos profinitos.

Por otro lado, hay situaciones en las que queremos ver representaciones continuas (por ejemplo, de un grupo de Galois profinito) en espacios vectoriales con topología más fina (por ejemplo, $\ell$ -ádico o $p$ -ádico) y éstos suelen tener imagen infinita. En principio, todavía es posible verlos como sistemas compatibles de representaciones en grupos como $GL_n(\mathbb{Z}/\ell^k\mathbb{Z})$ para $k \geq 1$ pero a mí me parece más fácil considerar un único mapa continuo y dejar que la topología haga su trabajo.

Del mismo modo, es posible que queramos ver representaciones de Galois que son ligeramente discontinuas (por ejemplo, donde la imagen de algún Frobenius tiene orden infinito) - uno suele fijar esta discontinuidad eligiendo un subgrupo del grupo de Galois donde los ascensores de Frobenius no generan grupos compactos. Si intentamos ver esto como un sistema compatible de representaciones de Galois finitas, parece algo engorroso.

Answer 3

Gildenhuys, Ribes y Zakesskii y otros han desarrollado una teoría de Bass-Serre para grupos profinitos que actúan sobre árboles profinitos. Utilizando esta teoría, Ribes y Zalesskii demostraron que si $H_1,\ldots,H_n$ son subgrupos finitamente generados de un grupo libre, entonces el subconjunto $H_1\cdots H_n$ es cerrado en la topología profinita. Se trata de una conjetura de personas que trabajan en teoría de semigrupos y teoría de autómatas que es esencialmente equivalente a una conjetura de Rhodes en teoría de semigrupos. La prueba de Ribes y Zalesskii no utiliza la aproximación por grupos finitos, sino la geometría de estos árboles profinitos. Actualmente existen otras pruebas que utilizan la teoría geométrica de grupos y la teoría de modelos.

Recientemente, Almeida asignó grupos profinitos a sistemas simbólicos irreducibles de una forma que es functorial hasta el automorfismo interno. De nuevo, los grupos finitos no aparecen explícitamente en la discusión.

ACTUALIZACIÓN: Otro aspecto de la teoría de los grupos profinitos como objetos por derecho propio es el estudio de los grupos profinitos sólo infinitos. Un grupo profinito infinito es simplemente infinito si todos sus subgrupos normales cerrados no triviales son abiertos. Por ejemplo, los enteros p-ádicos son simplemente infinitos. Justo infinito es el análogo de simple para los grupos profinitos infinitos. Todo grupo profinito infinito finitamente generado tiene un cociente justo infinito. Existe una tricotomía debida a Wilson (y refinada por Grigorchuk) que describe cómo pueden ser. El estudio de los grupos profinitos infinitos está relacionado con la teoría de los grupos de ramas profinitas y las acciones sobre árboles enraizados. Véase el capítulo del manual de Bartholdi, Grigorchuk y Sunik.

Answer 4

Un pro- uniforme $p$ es un límite inverso de un grupo finito $p$ -un grupo de Lie, y (la restricción a $\mathbb{Z}_p$ de) un álgebra de Lie de dimensión finita al mismo tiempo. Creo que sería difícil ver todas estas conexiones observando un sistema de grupos finitos.

Hay muchos resultados en teoría de grupos profinitos que dicen " $G$ tiene un subgrupo de índice finito tal que..." sin dar necesariamente ninguna forma de acotar el índice. No se pueden ver estas propiedades observando imágenes finitas individuales.