Identidad de Euler en forma matricial

Question

Supongo que todo el mundo conoce la famosa identidad matemática debida a L. Euler:

$$ e^{i \, \pi} + 1 = 0,$$ donde $i^2 = -1$ y $e$ es la base de los logaritmos naturales. Me preguntaba si esta identidad se puede extender de una manera natural a las matrices al cuadrado de la siguiente manera:

$$ e^{i \, \mathbf{\Pi}} + \mathbf{I} = \mathbf{0}, $$ donde $\mathbf{\Pi} = \pi \, \mathbf{I}$ , $\mathbf{I}$ es el $n\times n$ matriz de identidad, $\mathbf{0}$ es el $n\times n$ matriz nula y ahora $e^\square$ significa exponenciación matricial. Pude comprobar esta identidad para algunos valores pequeños de $n$ es decir, 2, 4, 10, etc. con ayuda de Mathematica. ¿Aplicar la definición de exponencial matricial es la forma de demostrar esta identidad? Efectivamente, la identidad nos dice

$$ \sum_{t=0}^\infty \frac{(i \pi \, \mathbf{I})^t}{t!} + \mathbf{I} = \mathbf{I} \sum_{t=0}^\infty \frac{(i \pi )^t}{t!} + \mathbf{I} = e^{i \pi} \mathbf{I} + \mathbf{I} = (e^{i \pi} + 1) \, \mathbf{I} = 0 \, \mathbf{I} = \mathbf{0},$$ que he utilizado: $\mathbf{I}^k = \mathbf{I}$ , $k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ la definición de $e^x$ y la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices. ¿Es correcto mi planteamiento? Además, ¿tiene alguna aplicación?

¡Salud!

Answer 1

Tal vez lo más interesante, en el contexto de la matriz, es que si nos fijamos en $2 \times 2 $ matrices de la forma $$ \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} $$ entonces están en correspondencia 1-1 con los números complejos, donde $a + b\mathbf i$ corresponde a la matriz que acabo de escribir. Además, la suma de números complejos y la suma de matrices coinciden bajo esta correspondencia, y lo mismo ocurre con la multiplicación de números complejos y la multiplicación de matrices. En otras palabras, se podría simplemente declarar que este conjunto de matrices es $\mathbf C$ ya que tiene todas las propiedades que $\mathbf C$ se supone que tiene.

Lo bueno es que el elemento $\mathbf i \in \mathbf C$ corresponde a la matriz $$ \mathbf {M_i} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$ (cuyo cuadrado es, efectivamente, la identidad negativa). A continuación, puede utilizar exponencial de la matriz para verificar que $$\exp(\pi \mathbf {M_i}) = -\mathbf I,$$ como cabría esperar, y esto podría considerarse una especie de prueba de la identidad de Euler.

Answer 2

La matriz de rotación en $\mathbb{R}^2$ puede escribirse como \begin{equation} R(\theta)=\left(\begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \Izquierda( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{matrix}\right)+\sin\theta\left(\begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \fin{matriz}\a la derecha). \fin{ecuación} Si denotamos \begin{equation} I=\left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{matrix}\right),~\mathbb{I}=\left(\begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \derecha), \Fin es fácil comprobar que $$I^2=I, I\mathbb{I}=\mathbb{I}I=\mathbb{I}, \mathbb{I}^2=-I,$$ et

\begin{eqnarray} e^{\mathbb{I}}&=&I+\mathbb{I}+\frac{1}{2!}(\mathbb{I})^2+\frac{1}{3!}(\mathbb{I})^3+\frac{1}{4!}(\mathbb{I})^4+\frac{1}{5!}(\mathbb{I})^5+\ldots\\ &=&\left(1-\frac{1}{2!}^2+\frac{1}{4!}^4-\ldots\right)I+\left(-\frac{1}{3!}^3+\frac{1}{5!}^5+\ldots\right)\mathbb{I}\\ &=&\cos\theta I+\sin\theta\mathbb{I} \end{eqnarray} o, $$e^{\mathbb{I}}=R(\theta).$$

Texto de referencia

Stillwell, J. Teoría ingenua de Lie Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2008.

Answer 3

Sí, esta matriz exponencial análoga es exactamente correcta, y verifica que $e^{i\pi}+1=0$ en este entorno matricial, pero no es en sí misma una prueba axiomática de $e^{i\Pi}+I=0$ .

Es decir, es correcto, pero se basa totalmente en el hecho de que $e^{i\pi}+1=0$ .

Muy interesante y bonito resultado.