Números complejos y conjugados.

Question

Dado que $|z|=3$ resuelve la ecuación $$2\overline{z}+\frac3{iz}=\sqrt{15}.$$

Cómo resolver esta cuestión sin ¿una calculadora?

Answer 1

CONSEJO

Multiplicar por $z$ obtenemos

$$2\bar z+\frac3{iz}=\sqrt{15} \implies 2\bar zz+\frac3{iz}z\frac i i=\sqrt{15}z$$

entonces recuerda que $\bar z z=|z|^2$ .

Answer 2

WLOG $z=\sqrt3e^{it}\implies\bar z=\sqrt3e^{-it}$ donde $t$ es real

$$\sqrt{15}=2\sqrt3e^{-it}+\dfrac3{i\sqrt3e^{it}}=\sqrt3(2-i)e^{-it}$$

$$\iff e^{it}=\dfrac{2-i}{\sqrt5}$$

Hemos terminado.

Podemos ir aún más lejos.

$$e^{it}=e^{-i\arcsin\dfrac1{\sqrt5}}$$

$$\implies t=2n\pi -\arcsin\dfrac1{\sqrt5}$$ donde $n$ es cualquier número entero