Solución de la ecuación diferencial $y=x \cdot \frac{dy}{dx}+\frac{b}{\frac{dy}{dx}}$

Question

Resuelve la siguiente ecuación diferencial:

$$y=x \cdot \frac{dy}{dx}+\frac{b}{\frac{dy}{dx}}$$ donde $b$ es una constante real.

Intenté resolverlo tomando $\frac{dy}{dx}=t$ y luego resolver la ecuación cuadrática para las raíces. Pero este método da una ecuación diferencial complicada una vez que escribo la expresión para las raíces. ¿Podría alguien sugerir un método mejor?

Answer 1

Se trata de un Ecuación de Clairaut .

Por lo tanto, se pueden diferenciar ambos lados respecto a $x$ para obtener: $$\frac{dy}{dx}=x\frac{d^2 y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}-\frac{b\cdot \frac{d^2 y}{dx^2}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$$ La factorización da: $$\frac{d^2 y}{dx^2}\left(x-\frac{b}{(\frac{dy}{dx})^2}\right)=0$$ Ahora, resuelve lo siguiente por separado: $$\frac{d^2 y}{dx^2}=0$$ Y: $$x-\frac{b}{(\frac{dy}{dx})^2}=0$$

Answer 2

No sé si esto ayuda.

deje $m = \frac{dy}{dx}.$ ahora podemos escribir su ecuación diferencial $y=x \cdot \frac{dy}{dx}+\frac{b}{\frac{dy}{dx}}$ como $$y = xm + \frac b m $$ resolviendo esta ecuación cuadrática, se tiene $$2x\ m = y \pm \sqrt{y^2 - 4bx}\to 2x\frac{dy}{dx} = y\pm\sqrt{y^2 - 4bx} $$