Determinar cómo se encuentra el número dado en relación con las raíces de una ecuación cuadrática

Question

Digamos que tenemos una cuadrática $x^2+px+q = 0$

Si esta cuadrática tiene 2 raíces, entonces:

Para cualquier número $\lambda$ si $\lambda^2+p\lambda+q < 0$ t $\lambda$ se encuentra entre ambas raíces.

y

Para cualquier número $\lambda$ si $\lambda^2+p\lambda+q > 0$ t si $2\lambda+p>0$ entonces $\lambda > $ cualquiera de las raíces, y si $2\lambda+p<0$ entonces $\lambda < $ cualquiera de las raíces.

1) No entiendo el significado gráfico (físico) - ¿Qué es $(2\lambda+p)$ y lo que es $2\lambda+p<0$ y $2\lambda+p>0$

2) Además, ¿qué es $\lambda^2+p\lambda+q > 0$ y $\lambda^2+p\lambda+q < 0$

Answer 1

Dado que su ecuación tiene $2$ raíces reales distintas podemos escribir $x^2+px+q=(x-\alpha)(x-\beta)$ con $\alpha>\beta$ y $\alpha+\beta = -p$

Caso 1 : Sea $\lambda$ tal que $\lambda^2 + p\lambda + q<0$ . Si utilizamos la segunda escritura del polinomio tenemos $(\lambda-\alpha)(\lambda-\beta)<0$ y es posible si y sólo si $\beta < \lambda < \alpha$ (Estoy utilizando $\beta<\alpha$ aquí). Esto significa que $\lambda$ se encuentra entre las dos raíces.

Caso 2 : Sea $\lambda$ tal que $\lambda^2+p\lambda+q>0$ . Considere $2$ subcasos:

• Si $2\lambda+p>0$ entonces sí: $\lambda > \frac{\alpha + \beta}{2}>\frac{\beta+\beta}{2}>\beta$ . Usando la segunda escritura que tienes ahora $(\lambda-\alpha)(\lambda - \beta)>0$ y utilizando la desigualdad anterior, el segundo factor es mayor que $0$ . Entonces también el primer factor tiene que ser mayor que $0$ . Así que $\beta < \alpha < \lambda$ .
• Si $2\lambda+p<0$ entonces sí: $\lambda < \frac{\alpha + \beta}{2}<\frac{\alpha+\alpha}{2}<\alpha$ . Usando la segunda escritura que tienes ahora $(\lambda-\alpha)(\lambda - \beta)>0$ y utilizando la desigualdad anterior, el primer factor es menor que $0$ . Entonces también el segundo factor tiene que ser menor que $0$ . Así que $\alpha>\beta>\lambda$ .

Significado de la condición $2\lambda +p>0$ es que $\lambda$ se encuentra a la derecha del $x$ coordenada del vértice de la parábola. Simétricamente $2\lambda+p<0$ significa que $\lambda$ se encuentra a la izquierda del $x$ coordenada del vértice de la parábola.