¿En qué categoría de la ecuación es esto?
Qué métodos están disponibles para resolverlo?
$2^x -x^3 = 0$ donde $x\in\Bbb R$
Respuestas
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Usted puede encontrar una solución en términos de la Función W de Lambert. Reescribir como:
$$ 1 = \frac{x^3}{2^x} = x^3 \exp(-x\log 2) $$
y tomar el cubo real de la raíz:
$$ 1 = x \exp \left(-\frac{x\log 2}{3}\right) $$
Ahora multiplique por $-\log 2/3$:
$$ -\frac{\log 2}{3} = -\frac{x\log 2}{3} \exp\left(-\frac{x\log 2}{3}\right) $$
Por lo tanto:
$$ x = -\frac{3W_0\left( -\frac{\log 2}{3}\right)}{\log 2} $$
donde $W_0$ es la rama principal de Lambert W. El valor es de aproximadamente 1.37.
Hay otra raíz real entre el 9 y el 10, que se encuentra en la segunda rama de la función W de Lambert:
$$x = -\frac{3W_{-1}\left(-\frac{\log 2}{3}\right)}{\log 2}$$
y cuyo valor es de aproximadamente 9.94.
mhost
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389
Considere la posibilidad de $f(n)=2^n-n^3$. $f(9)=-217$ y $f(10)=24$,por lo tanto,existe una raíz entre $9$ $10.$ puede solucionar $f(n)=0$ numéricamente utilizando Newton-Raphson método de toma de $x_0=9$.
También se $f(1)=1$$f(2)=-6$, por lo tanto habrá una raíz entre 1 y 2.
Para $n<1$, $f(n)$ siempre es positivo y para $n>10$, $f(n)$ siempre es positivo,por lo que no hay más raíces distinto entre el $9$ $10, 1$ $2.$
user21783
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11
- se trata de una ecuación exponencial o una exponencial de la ecuación de diophantine si sólo enteros (o fracciones) están permitidas
- usted puede encontrar una real o imaginario solución :
- el uso de iteraciones de partida con $x_0=2$ ($x_{n+1}=2^{x_n/3}$, el conversar $x_{n+1}=\frac {3\ln(x_n)}{\ln 2}$ o más de Newton-Raphson iteraciones)
- con el LambertW función (desde $n e^{-\frac {n\ln 2}3}=1$ es querido)
- gráficamente
- ...
GmonC
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114
Esta es una ecuación sin solución, si $n$ se supone que ser entero. En orden para $2^n=n^3$ a retención, $n$ debe ser
- positiva, ya que $2^n$ es,
- un poder de $2$, ya que el $n^3$ tendría una extraña primer factor,
- divisible por $3$ a fin de $2^n$ a ser un cubo.
Obviamente las dos últimas condiciones son contradictorios.
Desde $n$ ahora ha sido renombrado $x$ y se ha convertido en real, hay más soluciones. Probablemente, sólo los dos indicados por @avatar, pero un poco de esfuerzo se requiere para demostrar que esto es todo, ya que $f: x\to 2^x-x^3$ no es una función convexa: tiene dos puntos de inflexión, uno cerca de $0.08$ y otro cerca de $6.3$.
