¿Existe algún libro de "curso intensivo" sobre variedades abelianas (por ejemplo, una introducción para físicos)?

Question

Hola,

En nuestra investigación (más bien aplicada) de física teórica, nos hemos encontrado con una clase importante de problemas, que parecen requerir una comprensión de las funciones abelianas (por desgracia, este tema no forma parte de la enseñanza estándar de la física teórica, por lo que sabemos poco). Me gustaría aprender los fundamentos por mi cuenta para ver si hay algunos resultados que podamos utilizar realmente en nuestra investigación. ¿Existe algún tipo de "curso intensivo" sobre los aspectos prácticos de la materia? Busco un libro con un nivel mínimo de "abstracción"; por ejemplo, que no incluya palabras como "morfismo", etc., pero que incluya ejemplos de cálculos prácticos y/o una lista de herramientas técnicas clave.
Gracias, señor.

Answer 1

Me sorprende que nadie haya mencionado Variedades abelianas por Milne todavía.

Answer 2

Yo añadiría la de Oliver Debarre: Tori complejos y variedades abelianas . No trata la teoría de las funciones abelianas con tanta profundidad como muchas de las otras fuentes citadas. Pero, en comparación con las demás, comienza a un nivel elemental, es concreto y breve. En total el libro tiene unas 100 páginas y los capítulos más relevantes aquí son el 4,5,6 que ocupan unas 40 páginas.

Para aprender este tema, creo que este libro es un buen complemento a la lectura de una fuente más avanzada, porque es probable que Debarre dedique más tiempo a aspectos que otras fuentes podrían pasar por alto.

Otro libro que quizá merezca la pena mencionar es Variedades abelianas complejas por Lange y Birkenhake. Es mucho más largo y abarca mucho más material. Supone cierta base de geometría algebraica, pero yo diría que no más que el libro de Mumford. También trata sólo de la teoría compleja y es bastante concreto.

Answer 3

El libro de Polishchuk debería ser muy útil, y cercano en espíritu al inexistente curso intensivo sobre el documento de Mumford comentado por Charles Matthews en su respuesta:

http://www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item1169225/?site_locale=en_GB

Answer 4

Hay un par de párrafos relevantes en Basic algebraic geometry de shafarevich que recomiendo, así como un apéndice histórico. por ejemplo, da un ejemplo para mostrar que, a diferencia del caso unidimensional, existen redes en C^2 para las que ni siquiera cualquier función meromórfica puede ser periódica (capítulo VIII.1). además de siegel y swinnerton dyer, el otro libro de mumford sobre funciones beta es uno de los que recomendaría. ). además de siegel y swinnerton dyer, el otro libro de funciones theta de mumford es uno que recomendaría, volumen 1 de la serie de tres volúmenes, algo así como "tata lectures on theta I". También en la conferencia IV de sus Curvas y sus Jacobianos, ahora incluida en su "libro rojo", al menos las primeras 8 páginas dan una inestimable y sucinta introducción a las variedades abelianas principalmente polarizadas y sus "moduli" (espacios clasificatorios). Y quitemos de en medio los "morfismos", ya que la palabra aparece incluso en swinnerton -dyer. En un sentido es una versión genérica de los diversos términos automorfismo, isomorfismo, homomorfismo, homeomorfismo, difeomorfismo,... es decir, un mapa que preserva alguna estructura a especificar. En geometría algebraica suele significar un mapa que preserva una estructura y que está definido en todas partes, como "holomorfo" se usa en análisis complejo para significar meromorfo y que no tiene polos. así que en swinnerton - dyer probablemente signifique mapa holomorfo. pero a menudo se define donde se usa.

He aquí otra referencia:

Conferencias sobre superficies de Riemann actas del Colegio sobre Superficies de Riemann, Centro Internacional de Física Teórica, Trieste, Italia, 9 nov.-18 dic., 1987 editores, M. Cornalba, X. Gomez-Mont, A. Verjovsky. Publicado en 1989 por World Scientific en Singapur, Teaneck, NJ . Escrito en inglés.

Índice

Teoría analítica compleja del espacio de Teichmüller / R.M. Porter

Superficies de Riemann, módulos y geometría hiperbólica / S.A. Wolpert

Teoría gauge sobre superficies de Riemann / N.J. Hitchin

Curvas gráficas y curvas sobre superficies K3 / R. Miranda

Cohomología y geometría de Koszul / M.L. Green

Construcción del espacio de moduli de curvas estables / I. Morrison

Funciones meromórficas y cohomología en una superficie de Riemann / X. Gomez-Mont

Los teoremas de Riemann-Roch y Abel / M. Cornalba

La variedad jacobiana de una superficie de Riemann y su geometría theta / R. Smith

Familias de variedades y el esquema de Hilbert / C. Ciliberto y E. Sernesi

Una muestra de técnicas de haces vectoriales en el estudio de series lineales / R. Lazarsfeld

Módulos de curvas y características theta / M. Cornalba

Algunos métodos geométricos algebraicos en teoría de cuerdas / L. Dabrowski y C. Reina

Conferencias sobre curvas estables / F. Bardelli.

Notas de edición Incluye referencias bibliográficas. "Versiones revisadas de la mayoría de las notas originales, que cubren todo el espectro de los temas tratados durante el Colegio, desde los fundacionales hasta áreas de investigación actual muy activas"--P. v.

Clasificaciones Biblioteca del Congreso QA333 .C65 1987

Answer 5

Puede que "Tata Lectures on Theta II" de Mumford se acerque a lo que buscas. Trata de las aplicaciones de las variedades abelianas, y más concretamente de los jacobianos, a la resolución de diversas ecuaciones diferenciales de interés para los físicos.