¿Existe algún libro de "curso intensivo" sobre variedades abelianas (por ejemplo, una introducción para físicos)?

Question

Hola,

En nuestra investigación (más bien aplicada) de física teórica, nos hemos encontrado con una clase importante de problemas, que parecen requerir una comprensión de las funciones abelianas (por desgracia, este tema no forma parte de la enseñanza estándar de la física teórica, por lo que sabemos poco). Me gustaría aprender los fundamentos por mi cuenta para ver si hay algunos resultados que podamos utilizar realmente en nuestra investigación. ¿Existe algún tipo de "curso intensivo" sobre los aspectos prácticos de la materia? Busco un libro con un nivel mínimo de "abstracción"; por ejemplo, que no incluya palabras como "morfismo", etc., pero que incluya ejemplos de cálculos prácticos y/o una lista de herramientas técnicas clave.
Gracias, señor.

Answer 1

Usted podría tratar de mirar el primer capítulo del libro de Mumford Variedades abelianas . He olvidado si utiliza o no la palabra morfismo, pero adopta un punto de vista analítico decididamente complejo, que probablemente será (casi) el punto de vista que usted desea.

Comienza con una discusión de tori complejos, es decir, cocientes de la forma $\mathbb C^g/\Lambda$ donde $\Lambda$ es una red de rango $2g$ y luego considera el problema de incrustar dicho cociente en algún espacio proyectivo complejo. La existencia de tal incrustación es lo que distingue a las variedades abelianas de los tori complejos aleatorios, y está íntimamente relacionada con la teoría de las funciones theta. (De hecho, las funciones theta proporcionan la incrustación).

Creo que Mumford probablemente utiliza la terminología de haces de líneas. Los haces de líneas y sus secciones entran en escena porque para dar una incrustación de cierta variedad $X$ en el espacio proyectivo, es necesario (más o menos) elegir algunas coordenadas homogéneas en $X$ . Pero como las coordenadas homogéneas de un punto no están del todo bien definidas (sólo están bien definidas hasta un escalar) las coordenadas homogéneas no son del todo funciones, sino sólo funciones bien definidas hasta una cierta transformación escalar, lo que las convierte exactamente en secciones de un haz de líneas. En el caso de las variedades abelianas, se pueden extraer estas secciones a partir de $\mathbb C^g/\Lambda$ a $\mathbb C^g$ donde do se convierten en funciones honestas, pero en lugar de ser invariantes bajo $\Lambda$ (si fueran invariantes bajo tales traslaciones, descenderían a ser funciones honestas sobre la variedad abeliana $\mathbb C^g/\Lambda$ que no lo son), se transforman por algún escalar cuando trasladas el argumento por un elemento de $\Lambda$ . Cuando se averigua cuál es exactamente la ley de transformación escalar correcta, ¡se descubre que se trata de funciones theta!

Recuerdo que Mumford lo explica de forma bastante concreta en su primer capítulo. Aunque no sirva por sí solo como explicación, puede ser un puente útil entre la descripción clásica que probablemente le resulte más accesible y el punto de vista que encontrará en la mayor parte de la literatura matemática moderna.

Permítanme añadir que (al menos en mi opinión) las preguntas de seguimiento sobre puntos específicos de la teoría (digamos en referencia a uno de los textos que finalmente decidan estudiar) serían muy bienvenidas.

Answer 2

Topics in Complex Function Theory, Abelian Functions and Modular Functions of Several Variables de C. L. Siegel es una referencia estándar que utiliza la teoría de funciones complejas. Hay obras más antiguas (por ejemplo, H. F. Baker) que pueden dar una aproximación a un problema dado mediante fórmulas, y no todos los aspectos de esa teoría concreta se encuentran fácilmente en la bibliografía moderna.

Dicho esto, es un tema engañoso. Tengo que suponer que estás familiarizado con la teoría clásica de las funciones elípticas, o de lo contrario no hay manera de entender lo que está pasando. A grandes rasgos, como los ceros y los polos de las funciones de dos o más variables complejas nunca son puntos aislados, puede ser bastante difícil generalizar un resultado que quieras de funciones elípticas a funciones abelianas. En otras palabras, los ceros y los polos de las funciones llevan geometría, y no se pueden utilizar para hacer cuentas de una forma tan simplona.

Una solución a este problema es expresarlo todo en términos de funciones theta. Ahí la suerte cambia: básicamente el caso unidimensional y el de dimensiones superiores se rigen ambos de la misma manera por un tipo de grupo de Heisenberg, y (como demostró David Mumford) se puede ver que todo en la teoría vuelve en última instancia a una forma de teorema de Stone-von Neumann. Ahora bien, leer los artículos de Mumford no es el curso intensivo que estás buscando. Probablemente no exista. Es sólo un reaseguro de que hay una estructura subyacente a las ecuaciones subyacentes (no se puede esperar que las variedades abelianas sean intersecciones completas, fuera de unos pocos casos clásicos).

Probablemente sea cierto decir que la teoría de funciones abelianas no tiene una literatura adecuada, de hecho.

Answer 3

Podría intentar consultar el siguiente libro :

De la teoría de números a la física . Editado por M. Waldschmidt, P. Moussa, J. M. Luck y C. Itzykson. Springer-Verlag, Berlín, 1992. xiv+690 pp. ISBN: 3-540-53342-7

Este libro surgió de una conferencia celebrada en Les Houches en 1989, cuyo objetivo era reunir a teóricos de los números y físicos teóricos. Contiene, en particular, un largo artículo Introducción a las superficies compactas de Riemann, jacobianos y variedades abelianas de Jean-Benoît Bost. Me gusta mucho este artículo, y creo que merece ser conocido más ampliamente. Aquí está la reseña de MathSciNet sobre este artículo, por H. Lange :

" El artículo contiene una introducción a la teoría de las variedades abelianas para físicos. Este objetivo se toma en serio: el autor utiliza un lenguaje que debería resultar familiar a los físicos teóricos. Hay tres capítulos: Superficies compactas de Riemann, Jacobianos y Variedades abelianas generales. Las superficies de Riemann se introducen como clases conformes de $C^\infty$ -en una variedad bidimensional orientada y diferenciable. El tema de las superficies de Riemann puede considerarse entonces como el estudio de las propiedades invariantes conformes de las variedades bidimensionales de Riemann. Esta es la razón por la que las superficies de Riemann aparecen en algunos temas de física, como la teoría de cuerdas o la teoría de campos conformes. Los grupos de cohomología se presentan como grupos de cohomología de Dolbeault de haces de líneas. Para el físico, esto significa que $H^1(X,L)$ pueden interpretarse como los modos cero del adjunto del operador $\overline\partial_L$ . Con estas definiciones se demuestran los principales resultados de la teoría, como el teorema de Riemann-Roch, la dualidad de Serre y la descomposición de Hodge, utilizando operadores regularizadores y la teoría de Fredholm. El jacobiano $J(X)$ de una superficie compacta de Riemann $X$ se introduce como el conjunto de $\overline\partial$ -conexiones en un $C^\infty$ haz de líneas módulo a la acción del grupo $C^\infty(X,{\bf C}^*)$ . El autor demuestra que existen isomorfismos con la variedad Albanese y la variedad Picard de $X$ proporcionando así una demostración del teorema de Abel-Jacobi. En la tercera sección se presentan los fundamentos de las variedades abelianas generales. El artículo contiene también algunas digresiones históricas interesantes, por ejemplo un esbozo del planteamiento original de Abel sobre el teorema de Abel. "

El material sobre variedades abelianas (el tercer capítulo del artículo) es bastante comparable al comienzo del libro de Mumford, señalado por Emerton. Por último, creo que el estudio de las variedades abelianas difícilmente puede disociarse del estudio de las superficies de Riemann, porque históricamente las variedades abelianas aparecieron como jacobianas de superficies de Riemann.

Answer 4

Hay una buena y breve introducción a las variedades abelianas sobre C de Mike Rosen en Arithmetic Geometry, Springer-Verlag, 1986, capítulo 4.

Answer 5

Me sorprende que nadie haya mencionado Variedades abelianas por Milne todavía.