Función $F$ que $F(x)+F(-x)=\lim_{y\rightarrow\infty}F(y), \forall x \in \mathbb{R}$

Question

Me preguntaba si existe un nombre para la función $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con propiedad $$F(x)+F(-x)=\lim_{y\rightarrow\infty}F(y), \forall x \in \mathbb{R}?$$

Un ejemplo es cuando $F$ es la función de distribución de probabilidad de una función de densidad simétrica. Una variable aleatoria con dicha función de distribución de probabilidad se denomina simétrica.

Me gustaría saber si se han estudiado las propiedades de este tipo de funciones tanto en general como especialmente para la teoría de la probabilidad, es decir, cuando $F$ es una función de distribución de probabilidad.

Añadido: También me pregunto en A Course in Probability Theory de Kai Lai Chung donde escribió para la función de distribución de probabilidad de una distribución simétrica $$F(x)=1-F(-x-), \forall x \in \mathbb{R},$$ ¿qué significa $-x-$ ? Supongo que como una función de distribución de probabilidad es una función continua hacia la derecha, quizá Chung quería destacar que es el límite izquierdo el que se utiliza para definir la distribución simétrica.

Gracias y saludos.

Answer 1

Si suponemos que el límite del lado derecho es cero, entonces $F$ se llama antisimétrico o impar es decir, satisface $F(x) = -F(-x)$ .

Supongamos ahora que el límite $c = \lim_{x \to \infty} F(x) + F(-x)$ existe. Entonces $G(x) = F(x) - \frac{c}{2}$ satisface $G(x) + G(-x) = F(x) + F(-x) - c$ Por lo tanto $\lim_{y \to \infty} G(y) + G(-y) = 0$ Así que $G$ es impar por el razonamiento anterior, por lo tanto $F(x) = G(x) + c/2$ es la suma de una función impar y el escalar $c/2$ . Las funciones impar surgen con bastante frecuencia y en la página de Wikipedia a la que se ha hecho referencia anteriormente se pueden consultar un montón de sus propiedades.