¿Bonitas aplicaciones del teorema espectral?

Question

La mayoría de los libros y cursos sobre álgebra lineal o análisis funcional presentan al menos una versión del teorema espectral (ya sea en dimensión finita o infinita) y destacan su importancia para muchas disciplinas matemáticas en las que surgen operadores lineales a los que se aplica el teorema espectral. Rápidamente se comprueba que el teorema es una herramienta poderosa en el estudio de los operadores normales (y otros) y que muchas propiedades de dichos operadores son casi triviales de demostrar una vez que se tiene a mano el teorema espectral (por ejemplo, el hecho de que un operador positivo tiene una única raíz cuadrada positiva). Sin embargo, aunque me cueste admitirlo, apenas conozco ninguna aplicación del teorema espectral a áreas que a-priori no tienen nada que ver con el álgebra lineal, el análisis funcional o la teoría de operadores.

Una buena aplicación que conozco es la siguiente demostración del teorema ergódico medio de Von Neumann: si $T$ es una transformación invertible que preserva la medida en un espacio de probabilidad $(X,\mathcal{B},\mu)$ entonces $T$ induce naturalmente un operador unitario $T: L^2(\mu) \to L^2(\mu)$ (composición con $T$ ) y la secuencia de operadores $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}T^n$ converge a la proyección ortogonal sobre el subespacio de $T$ -en la topología del operador fuerte. El teorema espectral permite reducir al caso en que $X$ es el círculo unitario $\mathbb{S}^1$ , $\mu$ es la medida de Lebesgue y $T$ es la multiplicación por algún número de módulo 1. Este caso simple es, por supuesto, muy fácil de demostrar, por lo que se puede obtener el teorema general de esta manera. Sin embargo, algunas personas pueden encontrar esta aplicación un poco decepcionante, ya que el teorema ergódico medio también tiene una demostración elemental (acreditada a Riesz, creo) que no utiliza nada más que la teoría elemental del espacio de Hilbert.

Además, supongo que la teoría de Fourier y el análisis armónico están íntimamente relacionados con la teoría espectral de ciertos operadores (de traslación, convolución o diferenciación), y ¿quién puede negar la utilidad del análisis armónico en teoría de números, dinámica y muchas otras áreas? Sin embargo, busco aplicaciones más directas del teorema espectral, que puedan presentarse en un curso de licenciatura o posgrado sin desviarse demasiado de la trayectoria principal del curso. Así, por ejemplo, no me interesa el uso del teorema espectral para demostrar el lema de Schur en teoría de la representación, ya que no puede (o no debería) presentarse sin un tratamiento previo de la teoría de la representación, que es un tema en sí mismo.

Este libro de Matousek se acerca bastante a lo que busco. Presenta aplicaciones sencillas y breves (pero no por ello menos impresionantes y no triviales) del álgebra lineal a otras áreas. Me interesa la cuestión más específica de las aplicaciones del teorema espectral, en alguna de sus versiones (en dimensión finita o infinita, para operadores compactos o acotados o no acotados, etc.), a áreas que no están directamente relacionadas con la teoría de operadores lineales. Agradeceremos cualquier sugerencia.

Answer 1

No sé si esto es lo suficientemente no trivial (o suficientemente no relacionado a priori ), pero es frecuente ver el teorema espectral en las pruebas de que cualquier cadena de Markov aperiódica e irreducible con un número finito de estados converge a su distribución estacionaria. El hecho de que la brecha espectral mida la velocidad de convergencia es también una consecuencia inmediata y gratificante, y se puede ilustrar inmediatamente con ejemplos sencillos (por ejemplo, de dos estados) o con varias cadenas de Markov interesantes.

Una aplicación estadística estándar del hecho de que cualquier operador positivo tiene una raíz cuadrada única es la siguiente. Supongamos que tenemos una columna de datos que satisface $\vec{y} = A \vec{x} + \vec{\epsilon}$ donde el $\vec{\epsilon}$ tienen la matriz de correlaciones $\mathbf{E}[ \vec{\epsilon} \vec{\epsilon}^T] = \Omega$ (por supuesto, definida positivamente). Entonces podemos multiplicar a la izquierda por $\Omega^{-1/2}$ y obtenemos (en coordenadas transformadas) un sistema con errores no correlacionados, que podemos estimar mediante mínimos cuadrados ordinarios. Los estimadores resultantes gozan, por tanto, de todas las buenas propiedades de los MCO. (Véanse las páginas 2-3 de http://sociology.osu.edu/classes/soc703/Kaufman/Lec07_703.pdf )

No se trata de aplicaciones matemáticamente muy potentes, pero sí enormemente importantes en campos aplicados.

Answer 2

La fórmula de la traza de Selberg, junto con sus avatares, proporciona información sólida en muchos temas: asintótica de geodésicas cerradas sobre variedades de curvatura negativa constante, asintótica del número de clases de formas cuadráticas integrales con discriminante dado, etc...

Esta fórmula relaciona el espectro de un operador de Laplace-Beltrami con objetos geométricos o algebraicos. Otra correspondencia del mismo tipo, pero con objetos topológicos, es el Teorema del Índice de Atiyah-Singer.

Answer 3

Mencionas la prueba del teorema ergódico medio de Von Neumann. He aquí otro resultado de la teoría ergódica que utiliza el teorema espectral.

Teorema
Sea $(X, {\cal T}, \mu)$ sea un espacio de probabilidad, $T: X \rightarrow X$ una transformación que preserva la medida. Las siguientes propiedades son equivalentes.

$\bullet$ Para todos $f,g \in L^2$ , $$ {1\over N}\sum_{k=1}^N \ \Bigl| \int f\circ T^n g \,d\mu -\int f d\mu \int g d\mu \Bigr| \rightarrow 0. $$

$\bullet$ No existe ninguna función $f \in L^2$ y $\theta \in {\bf R}$ tal que $$ f\circ T = e^{i\theta} f. $$

Si se cumple alguna de estas propiedades, la transformación $T$ se dice que es de mezcla débil.

No conozco ninguna prueba de (2) => (1) que no utilice alguna versión del teorema espectral.