¿Bonitas aplicaciones del teorema espectral?

Question

La mayoría de los libros y cursos sobre álgebra lineal o análisis funcional presentan al menos una versión del teorema espectral (ya sea en dimensión finita o infinita) y destacan su importancia para muchas disciplinas matemáticas en las que surgen operadores lineales a los que se aplica el teorema espectral. Rápidamente se comprueba que el teorema es una herramienta poderosa en el estudio de los operadores normales (y otros) y que muchas propiedades de dichos operadores son casi triviales de demostrar una vez que se tiene a mano el teorema espectral (por ejemplo, el hecho de que un operador positivo tiene una única raíz cuadrada positiva). Sin embargo, aunque me cueste admitirlo, apenas conozco ninguna aplicación del teorema espectral a áreas que a-priori no tienen nada que ver con el álgebra lineal, el análisis funcional o la teoría de operadores.

Una buena aplicación que conozco es la siguiente demostración del teorema ergódico medio de Von Neumann: si $T$ es una transformación invertible que preserva la medida en un espacio de probabilidad $(X,\mathcal{B},\mu)$ entonces $T$ induce naturalmente un operador unitario $T: L^2(\mu) \to L^2(\mu)$ (composición con $T$ ) y la secuencia de operadores $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}T^n$ converge a la proyección ortogonal sobre el subespacio de $T$ -en la topología del operador fuerte. El teorema espectral permite reducir al caso en que $X$ es el círculo unitario $\mathbb{S}^1$ , $\mu$ es la medida de Lebesgue y $T$ es la multiplicación por algún número de módulo 1. Este caso simple es, por supuesto, muy fácil de demostrar, por lo que se puede obtener el teorema general de esta manera. Sin embargo, algunas personas pueden encontrar esta aplicación un poco decepcionante, ya que el teorema ergódico medio también tiene una demostración elemental (acreditada a Riesz, creo) que no utiliza nada más que la teoría elemental del espacio de Hilbert.

Además, supongo que la teoría de Fourier y el análisis armónico están íntimamente relacionados con la teoría espectral de ciertos operadores (de traslación, convolución o diferenciación), y ¿quién puede negar la utilidad del análisis armónico en teoría de números, dinámica y muchas otras áreas? Sin embargo, busco aplicaciones más directas del teorema espectral, que puedan presentarse en un curso de licenciatura o posgrado sin desviarse demasiado de la trayectoria principal del curso. Así, por ejemplo, no me interesa el uso del teorema espectral para demostrar el lema de Schur en teoría de la representación, ya que no puede (o no debería) presentarse sin un tratamiento previo de la teoría de la representación, que es un tema en sí mismo.

Este libro de Matousek se acerca bastante a lo que busco. Presenta aplicaciones sencillas y breves (pero no por ello menos impresionantes y no triviales) del álgebra lineal a otras áreas. Me interesa la cuestión más específica de las aplicaciones del teorema espectral, en alguna de sus versiones (en dimensión finita o infinita, para operadores compactos o acotados o no acotados, etc.), a áreas que no están directamente relacionadas con la teoría de operadores lineales. Agradeceremos cualquier sugerencia.

Answer 1

Perdón por la necromancia, pero la aplicación más básica del teorema espectral tiene que ser la prueba de la segunda derivada en cálculo multivariable, ¿no?

Si $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es una función suave, entonces su hessiano $D^2f$ es una forma bilineal simétrica en cada punto de $\mathbb{R}^n$ . Por el teorema espectral, tiene una base ortogonal de vectores propios. En un punto crítico de $f$ La definición de esta forma nos dice si el punto crítico es un máximo, mínimo o silla local. Por el teorema espectral, uno puede simplemente comprobar el signo de los valores propios para determinar esto.

Answer 2

El teorema espectral en el caso de dimensión finita es importante en teoría espectral de grafos la matriz de adyacencia y el laplaciano de un grafo no dirigido son simétricos, por lo que ambos tienen valores propios reales y una base ortonormal de vectores propios, y esto es importante para muchas aplicaciones de estas matrices, por ejemplo, para el estudio de la gráficos expansores .

Answer 3

Teorema de Peter-Weyl. Este resultado es, más o menos, equivalente a la afirmación de que cualquier grupo de Lie compacto $G$ admite un homomorfismo inyectivo hacia algún $U(n)$ (siéntase libre de decir que esto sigue siendo un resultado de álgebra lineal, porque $U(n)$ aparece). La clave es que $G$ tiene "suficientes" representaciones finito-dimensionales. La prueba en cuatro líneas: El punto es que $L^2 (G)$ es unitario $G$ -representación, pero por supuesto de dimensión infinita. Se encuentra un $G$ -operador invariante, inyectivo y compacto $K:L^2 (G) \to L^2 (G)$ . Los eigenspaces de $K$ son representaciones de dimensión finita, y su suma abarca $L^2 (G)$ . Este no es todavía el resultado que $G$ inyecta en algunos $U(n)$ sino el mayor paso hacia ese objetivo.

Answer 4

• Una prueba teórica de operadores de que la Problema del momento hamburguesa admite una solución (véase, por ejemplo Métodos de la física matemática moderna de Reed y Simon, volumen 2, teorema X.4).

• Demostración de Weyl del análogo de Bohr de la identidad de Parseval para funciones casi periódicas. Más precisamente, sea $f$ sea un casi periódico uniforme $\mathbb C$ -sobre $\mathbb R$ y que $$a(\lambda)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)e^{-i\lambda t}dt.$$ Se sabe que el conjunto $\{\lambda\in \mathbb R:\ a(\lambda)\neq 0\}$ es a lo sumo contable para cualquier función uniformemente casi periódica. Sea $c_k=a(\lambda_k)\neq 0$ sea la secuencia de las constantes de Fourier no triviales de la función $f$ . Entonces $$\sum_{k}|c_k|^2=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2dt.$$ La prueba se basa en el análisis espectral del operador $$Au=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t-s)u(s)dt.$$ Weyl demuestra que $A$ es un operador normal compacto en el espacio de funciones uniformemente casi periódicas (dotado del producto escalar $(u,v)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}u(t-s)\overline{v(s)}dt$ ). El resultado se deriva de una aplicación inteligente del teorema espectral.

Encontrará una exposición detallada de la prueba en Teoría de los operadores lineales en el espacio de Hilbert por Akhiezer y Glazman (véase la sección 57).

Answer 5

El espacio de las nuevas formas tiene una base formada por las formas propias, ya que los operadores de Hecke son un sistema de operadores autoadjuntos que se conmutan.