Extensión de las funciones aritméticas a los grupos

Question

Pensando en la fascinante obra de Tom Leinster pregunta reciente En general, me pregunto cómo extender las preguntas sobre los números naturales a los grupos, con los grupos cíclicos representando los números naturales y los subgrupos normales representando los divisores. Por ejemplo $\mathbb{G}$ sea el conjunto de todos los clases de isomorfismo de finito grupos. Entonces una "función aritmética" podría definirse simplemente como una función $f:\mathbb{G}\rightarrow\mathbb{C}$ . He aquí algunas analogías que anoté con bastante rapidez (quizá haya mejores propuestas de generalización que éstas): $$\text{id}(G)=|G|\quad\quad\quad \epsilon(G)=\begin{cases}1\text{ if $G$ is trivial}\\ 0\text{ otherwise}\end{cases}\quad\quad\quad z(G)=0$$ $$\sigma_k(G)=\sum_{N\,\triangleleft \,G} |N|^k \quad\quad\quad\quad\phi(G)=|G|\prod_{\substack{N\,\triangleleft \,G \\ |N|\text{ prime}}}\left(1-\frac{1}{|N|}\right)$$ La pregunta de Tom Leinster es si existe una solución para $\sigma_1(G)=2|G|$ .

Pregunta 1: ¿Qué se sabe, si es que se sabe algo, sobre estas funciones? ¿Cuál es una buena propuesta para un análogo de la función de Mobius (no se me ocurre ninguna de antemano)? ¿Alguien puede demostrar que satisfacen fórmulas que son análogas a sus homólogas de números naturales, o quizás dar ejemplos que indiquen que estas funciones actúan de forma extraña y no son buenas generalizaciones?

Sospecho que si estas funciones actúan mal, la solución más probable sería redefinir $\mathbb{G}$ sean clases de isomorfismo de finitos abeliano grupos. Todos los subgrupos son normales, y el teorema de la estructura hace las cosas mucho más controladas. Supongo que definir (por ejemplo) qué significa que dos grupos sean "coprimos" y, por tanto, qué significa que una "función aritmética" sea "multiplicativa", sería mucho más fácil con los grupos abelianos.

Yendo más lejos: dadas dos "funciones aritméticas" $f,g:\mathbb{G}\rightarrow\mathbb{C}$ podemos definir una "convolución de Dirichlet" mediante $$(f\ast g)(G)=\sum_{N\,\triangleleft \,G}f(N)g(G/N)$$ Tengo que decir que se me cayó un poco la mandíbula cuando lo escribí. Pero una diferencia inmediata que puedo ver, algo desalentadora, es que $\ast$ no sería abeliano, ya que no tenemos la garantía de que existan subgrupos normales $M\triangleleft G$ isomorfo de $G/N$ (véase esta pregunta MO ), mucho menos que si $M\cong G/N$ entonces $G/M\cong N$ . Sin embargo, la función $\epsilon$ sigue siendo una identidad izquierda y derecha para $\ast$ y $z$ sigue siendo un cero.

Pregunta 2: ¿Puede alguien probar o refutar que $\ast$ ¿es asociativo? Si lo es, al menos obtenemos un anillo no conmutativo bajo $\ast$ y la suma puntual (que $\ast$ distribuye sobre sumas puntuales es obvio).

Ahora sospecho que me estoy volviendo "avaricioso" con mi generalización. Podríamos definir además "series de Dirichlet", como la función zeta (nótese que se trata de no lo mismo que el función zeta de un grupo ): $$\zeta_{\mathbb{G}}(s)=\sum_{G\in\mathbb{G}}\frac{1}{|G|^s}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{\substack{G\in\mathbb{G}\\ |G|\leq n}}\frac{1}{|G|^s}$$ Dudo seriamente de que haya esperanza alguna para una expresión similar al producto de Euler. Pero quizás, si nos restringiéramos a grupos abelianos finitos...

Además, estoy familiarizado con el resultado que el número de clases de isomorfismo de grupos de orden $p^n$ crece a medida que $p^{\frac{2}{27}n^3+O(n^{8/3})}$ e imagino que la tasa de crecimiento es al menos igual de mala para los no necesariamente $p$ -grupos.

Pregunta 3: ¿Existe algún $s>0$ para lo cual $\zeta_{\mathbb{G}}(s)$ converge?

Escribí esta pregunta bastante rápido, y agradezco cualquier comentario sobre cómo mejorarla o hacerla más apropiada para MO. ¿Debería dividirla en varias preguntas? ¿Es demasiado abierta?

Answer 1

Q2: En respuesta a Greg Kuperberg reclamación sobre responder a preguntas en los comentarios, combinaré la semirespuesta del comentario anterior con el ejemplo concreto de F. Ladisch y la pondré aquí como respuesta propiamente dicha. Como es sólo la mitad de mi trabajo, la convertiré en wiki comunitaria.

Para f, g y h arbitrarios, tenemos $$ ((f \ast g) \ast h)(G) = \sum f(K) g(N/K) h(G/N) $$ donde la suma es sobre todos los $K \triangleleft N \triangleleft G$ y $$ (f \ast (g \ast h))(G) = \sum f(K) g(N/K) h(G/N) $$ donde la suma es sobre todos los $K \triangleleft G$ y $N \triangleleft G$ con $K \subseteq N$ .

Tomar f, g y h todos para tener valor constante 1. Entonces $((f \ast g) \ast h)(G)$ es el número de cadenas $K \leq N \leq G$ con K normal en N y N normal en G, mientras que $(f \ast (g \ast h))(G)$ es el número de cadenas $K \leq N \leq G$ con K normal en G y N normal en G. La primera es mayor o igual que la segunda, y en algunos casos estrictamente mayor: tomando el ejemplo de F. Ladisch, podríamos tener $K = C_2$ , $N = C_2 \times C_2$ , $G = A_4$ . Así que no, $\ast$ no es asociativo.

Por otro lado, $\ast$ es asociativo cuando se restringe a grupos abelianos.

Answer 2

Q1. Mi otra respuesta muestra que si queremos $\ast$ sea asociativo, será mejor que hagamos algo como restringir a abeliano grupos. Hagámoslo.

En ese contexto, existe un buen análogo de la función de Möbius. Es la función $\mu$ dada por $$ \mu(A) = \sum_{k = 0}^\infty (-1)^k c_k(A) $$ (para un grupo abeliano $A$ ), donde $c_k(A)$ es el número de cadenas $$ 1 = A_0 < A_1 < \cdots < A_k = A $$ de subgrupos propios.

¿Por qué es un buen análogo? Bien, escriba $\zeta$ para la función con valor constante 1. La propiedad crucial de la función de Möbius es que es la inversa, con respecto a $\ast$ de $\zeta$ : $$ \mu = \zeta^{-1}. $$ Y esto se comprueba fácilmente con un argumento de suma telescópica.

Por cierto, he adivinado esta fórmula para $\mu$ porque algo extremadamente similar es cierto para la inversión de Möbius para posets, y más generalmente categorías. Aún no he averiguado si se trata de un ejemplo de resultados generales sobre la inversión de Möbius para categorías.

Editar : Esta construcción parece deberse a Philip Hall: véase la respuesta de Mike Spivey.

Answer 3

Parece que algunas de estas ideas aparecen en el artículo de Philip Hall, " Las funciones eulerianas de un grupo ," Un cuarto. J. Math. Oxford Ser. 134-151, 1936. Discute tanto un Euler $\phi$ y una función de Möbius definida sobre grupos.

La función de Möbius es como la describe Tom Leinster en su respuesta a Q1 .

La función $\phi_n(G)$ es el número total de $n$ -bases del grupo $G$ donde an $n$ -es cualquier conjunto ordenado de $n$ elementos de $G$ que generan $G$ . Por lo tanto, si $G$ es cíclico de orden $m$ , $\phi_1(G)$ es la función de Euler habitual $\phi(m)$ .