Relación entre el $\int_a^b f(x)\,dx$ $\int_a^bxf(x)\,dx$

Question

Yo estaba trabajando en un problema, y llegó a un punto donde se iba a ayudar mucho si existía una relación entre las dos expresiones siguientes:

1) El valor numérico de $\int_a^b f(x)\,dx$, y

2) El valor numérico de $\int_a^bxf(x)\,dx$.

Es decir, si yo sé el valor numérico para la primera integral, pero nada acerca de $f(x)$, es posible determinar el valor numérico para el segundo?

He tratado de experimentar con la integración por partes, pero que siempre parece necesitar de la integral indefinida de $F(x)$.

EDIT: En respuesta a Calvin Lin comentario: yo estoy buscando para calcular la segunda integral, por lo que las igualdades son el tipo de relación que yo estoy buscando.

EDIT 2: En respuesta a JoeHobbit comentario: El problema concreto que estoy tratando de resolver realmente es este de aquí. Sin embargo, este surgió de algunos otros pensamientos, no necesariamente ligados a problemas específicos.

Answer 1

Es imposible determinar el valor numérico de $\int_a^bxf(x)dx$ exactamente de $\int_a^bf(x)dx$ (por ejemplo, $\int_0^1 xdx = \int_0^1(1-x)dx = \frac{1}{2}$, pero $\int_0^1x\cdot xdx = \frac{1}{3} \ne \int_0^1x(1-x)dx = \frac{1}{6}$. Sin embargo, usted todavía sabe algunas cosas. Como usted ha mencionado, integración por partes le dice que $\int_a^bxf(x)dx = bF(b) - aF(a) + \int_a^bF(x)dx$ donde $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$. Si usted puede encontrar los límites a la antiderivada, te podría decir un poco acerca de esta integral. Otra desigualdad se da en los comentarios, pero usted no puede conseguir una igualdad.

Answer 2

No estoy seguro de si esta es la respuesta que usted está buscando, pero no hay una relación en la teoría de la probabilidad.

Si $f(x)$ es una función de densidad de probabilidad, entonces podemos definir el promedio de $x$ en el intervalo de $[a,b]$, para ser

$$ \int_a^b x \ f(x) \ dx $$

donde

$$ \int_a^b f(x) \ dx $$

representa la probabilidad (si $f$ está normalizado en el intervalo) que $x \in [a,b]$.

Nota: Si $f$ es una normalizado de la función de densidad de probabilidad, a continuación,

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx = 1 $$

Answer 3

Para la estimación de la si $f(x)$ es no decreciente y no negativo, Steffensen la desigualdad vino a mi mente:

$$ \int_{b - k}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} f(x) g(x) \, dx \leq \int_{a}^{a + k} f(x) \, dx,$$ donde $g: [a,b]\to [0,1]$ es integrable, y $k = \int^a_b g(x) \,dx$. Así que podemos dejar a$g(x) = (x-a)/(b-a)$,$k = (b-a)/2$:

$$ \int_{(b+a)/2}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} f(x) \frac{x}{b} \, dx \leq \int_{a}^{(b+a)/2} f(x) \, dx,$$ lo que nos da la enlazado: $$ b\int_{m}^{b} f(x)\, dx + \int_{a}^{m} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} xf(x) \, dx \leq b\int_{a}^{m} f(x) \, dx + \int_{m}^{b} f(x)\, dx,$$ donde $m$ es el punto medio de la $[a,b]$. Sobre bound es más nítida que la de Cauchy-Schwarz mirando el término de error de Steffensen. Para los curiosos, si $f(x)$ es un polinomio, sobre bound es muy muy fuerte. El dependiente, implica también, si $f(x)$ no está cambiando muy rápido en el intervalo, entonces $$ \frac{a+b}{2}\int^b_a f(x) \,dx $$ es una muy buena aproximación a la integral (regla del punto Medio, en el disfraz...).

Para general $f(x)$, no sé si hay algún método para estimar el primer momento basado en el cero de momento...