Relación/significado entre el momento y los contornos de fase igual constante de una función de onda

Question

A veces, debido sobre todo a mis limitados conocimientos de física moderna experimental, siempre que me pongo a pensar en física cuántica, las cosas me parecen realmente divertidas y contraintuitivas, y si no las resuelvo, no puedo evitar darle vueltas y perder un tiempo precioso. Como parte de ello está esta pregunta. Disculpas si mi pregunta parece demasiado ingenua.

Esta pregunta se refiere a la intuición que hay detrás de un determinado postulado/consideración y no tiene por qué corresponderse necesariamente con ninguna realidad física. (Así que espero algunas respuestas intuitivas y no sólo como oh, se ha demostrado experimentalmente muchas veces, por el momento no me importan los experimentos hasta que adquiera suficientes conocimientos en el aspecto teórico.

Pregunta :

Consideremos una onda de materia de DeBroglie (no he podido conseguir ninguna fórmula o ecuación de la misma buscando en google), lo que me interesa es la ecuación de la onda de Debroglie y la explicación de todos los parámetros físicos que hay en ella y las razones por las que se formuló.

Entonces por supuesto como se dice que $p = hk/{2\pi} $ .

El puzzle

Consideremos la onda mecánica cuántica $$\psi(x,t) = e^{i(kx-\omega t)}$$ (aunque no es válido, lo he considerado por simplicidad)

Consideremos ahora la fase de $\psi(x,t)$ dado como $\phi(x,t) = kx-\omega t$ y que $(x_{\theta},t_{\theta})$ sea el conjunto de puntos de fase constante, es decir $\phi(x_{\theta},t_{\theta}) = \theta$ . Obsérvese que en una región local cualquiera, $d{x_{\theta}}/d{t_{\theta}} = \omega /k $ . Esto parece desconcertante teniendo en cuenta que el momento de DeBroglie es proporcional a $k$ . Me pregunto si hay algún significado más profundo o intuición detrás de esto. Agradezco sus comentarios y sugerencias.

Answer 1

Las condiciones que su onda de de Broglie (también conocida como onda plana) $\psi$ obedecer es simplemente $$i\hbar \frac{\partial}{\partial t }\psi = \omega \psi$$ y $$-i\nabla\cdot \psi = \vec k \cdot \psi $$ que dice que la onda plana tiene la energía correcta $E=\hbar\omega$ y el impulso adecuado $\vec p = \hbar \vec k$ respectivamente. En QM, estas ecuaciones simples resultan de las definiciones mecánicas cuánticas simples del operador de momento y de la ecuación de Schrödinger que es tan simple como la primera ecuación anterior cuando no hay energía potencial, etc. Normalmente añadimos términos de energía potencial o consideramos otros Hamiltonianos complicados en lugar de simplemente escribir un número $\omega$ a la derecha.

Su $dx_\theta / dt_\theta = \omega / k$ se calculó según la receta para calcular la llamada "velocidad de fase". Su resultado $\omega / k = E/p = 1/v$ en relatividad especial, suponiendo que incluyamos la energía total incluyendo $E_0=m_0c^2$ en $E$ . Así que no es $v$ .

También puede elegir la convención para $E$ que es sólo $p^2/2m$ para una pequeña $p$ la fórmula no relativista restando $mc^2$ . En ese caso, la velocidad de fase tampoco corresponderá a la velocidad real de la partícula, aunque estará más cerca: la velocidad de fase será $mv^2/2/mv = v/2$ . Pero la "velocidad de grupo" (también la velocidad de paquetes de ondas suficientemente pequeños) dada por $\partial \omega / \partial k$ seguirá coincidiendo con la velocidad esperada de la partícula $v$ porque el factor extra de dos proviene de diferenciar la segunda potencia.

No hay nada malo en que la velocidad sea dada por $\omega / k$ aunque $k$ es directa y no indirectamente proporcional al momento. Las distintas potencias de $k$ se compensan con el hecho de que existe el extra $\omega$ en la fórmula que también depende de $v$ . El resultado no relativista que nos daba la velocidad de fase casi igual a la velocidad de grupo tenía $\omega=mv^2/2\hbar$ así que aparte del factor de $1/2$ era proporcional a la segunda potencia de $v$ exactamente lo suficiente para cambiar $1/v$ a $v$ .