Valores propios del operador f.

Question

Si $V=\operatorname{span}( x(t), y(t), z(t) )$ donde, estas tres funciones son reales, dadas como $x(t)=1, y(t)=\cos(t)$ y $s(t)=\sin(t)$

Operador lineal $f:V \mapsto V$ viene dado por $(f(v))(t)=v(t+\frac{\pi}{4})$ Quiero encontrar los valores propios de este operador lineal.

Para encontrar los valores propios de este operador lineal, necesito encontrar su matriz con respecto a alguna base, pero no sé cómo elegir la base para el espacio vectorial definido de esta manera. ¿cómo hacerlo cuando tengo este tipo de espacios vectoriales?

Answer 1

Observa cómo afecta el operador lineal a la base.

$$(f(x))(t)=x\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=1=1\cdot x(t)+0\cdot y(t)+0\cdot z(t)$$ $$(f(y))(t)=\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=\cos t\cos\frac{\pi}{4}-\sin t\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt 2}{2}\cos t-\frac{\sqrt 2}{2}\sin t \\ =0\cdot x(t)+\frac{\sqrt 2}{2}y(t)-\frac{\sqrt 2}{2}z(t)$$ $$(f(z))(t)=\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=\sin t\cos\frac{\pi}{4}+\cos t\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt 2}{2}\sin t+\frac{\sqrt 2}{2}\cos t \\ =0\cdot x(t)+\frac{\sqrt 2}{2}y(t)+\frac{\sqrt 2}{2}z(t)$$

Cada uno de estos resultados corresponde a una columna de la matriz. ¿Ves ahora cómo se construye la matriz?

Answer 2

Pista:

Supongo que $V$ es un espacio vectorial sobre los números reales.

Tenga en cuenta que $\{1,\cos t, \sin t\}$ son linealmente independientes, así que puedes usarlas como base.

Un vector $v$ de $V$ puede representarse, en la base $\{1,\cos t, \sin t\}$ como. $$ v=a\cdot 1+b\cdot \cos t + c \sin t \qquad a,b,c \in \mathbb{R} $$ y la transformación dada actúa como: $$ f(v)=a+c \cos(t+\frac{\pi}{4})+c\sin(t+\frac{\pi}{4}) = a\cdot 1+\frac{\sqrt{2}}{2}(b+c)\cos t + \frac{\sqrt{2}}{2}(c-b) \sin t $$

Esto significa que : $$ f \left( \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix} a\\\frac{\sqrt{2}}{2}b+\frac{\sqrt{2}}{2}c\\-\frac{\sqrt{2}}{2}b+\frac{\sqrt{2}}{2}c \end{bmatrix} $$ por lo que la matriz que representa la transformación es: $$ \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} $$

Y recuerda que los valores propios de una transformación lineal son independientes de la base utilizada para representarla como matriz.