Función completa con $|f(z^{2})|\leq e^{|z|}$

Question

Estoy atascado con este problema:

Supongamos que $f$ está entero, $f(k) = 0 \ $ para todos $ \ k \in \mathbb{Z}$ y $$|f(z^{2})|\leq e^{|z|}$$ para todos $z \in \mathbb{C}.$ Entonces $f (z) = 0$ para todos $z \in \mathbb{C}.$

¿Alguna pista?

Answer 1

La desigualdad te dice que $f$ tiene un orden de crecimiento $\rho \leq \frac{1}{2}$ . Entonces, si $f \not \equiv 0$ e indexamos los ceros no nulos de $f$ por $z_1, z_2, \dots$ un teorema estándar (véase, por ejemplo, el teorema 2.1 del capítulo 5 del libro Complex Analysis de Elias Stein y Rami Shakarchi) dice que la suma

$$ \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{|z_j|^s} < \infty $$

para cualquier $s>\rho$ .

Pero esto produciría una contradicción porque sabemos que $f(k) = 0$ para cualquier número entero $k \in \mathbb{Z}$ ya que entonces, por ejemplo, con $s = 1$ tendríamos

$$ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} \leq \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{|z_j|} < \infty $$ Por lo tanto $f \equiv 0$ .