Métrica del metro francés: dificultad para demostrar que $d(x, y) = 0\iff x = y$ .

Question

Creo que está relacionado con la definición especial de la métrica en mi libro: $$d(x, y) = \begin{cases}||x - y||,\mbox{ if }\exists \alpha\in\mathbb{R}: \alpha x + (1-\alpha) y = 0;\\ ||x|| + ||y||, \mbox{ otherwise.}\end{cases}$$

De este modo, para $x = y$ tenemos $\alpha x + (1 - \alpha) x = 0$ lo que sólo es cierto si $x = 0$ por lo que caemos en el segundo caso: $d(x, x) = ||x|| + ||x|| = ||x||^2 \neq 0$ si $x\neq 0$ .

Parece que no satisface los axiomas de una métrica. El caso descrito en Woflram MathWorld es más simple, porque la condición para el primer caso es: $x = \alpha y$ . De esta forma, para $d(x, x)$ tenemos $\alpha = 1$ y todo funciona correctamente.

¿Me he perdido algo o hay un error en el planteamiento del problema? Gracias de antemano.

Answer 1

Sea $x,y \in \mathbb{R}$ y supongamos $$\exists \alpha\in\mathbb{R}: \alpha x + (1-\alpha) y = 0.$$ Entonces $$ \begin{align*} & \Rightarrow \alpha x + (1-\alpha) y = 0 \\ & \Rightarrow \alpha(x-y)+y=0 \\ &\Rightarrow \alpha=\frac{y}{y-x} \\ &\Rightarrow y \neq x. \end{align*} $$ Por lo tanto, si $x=y$ no hay tal $\alpha$ existe, y debemos considerar $d(x,y)=||x||+||y||$ .

La implicación bidireccional sigue planteando un problema para esta última definición, ya que $$d(x,y)=||x||+||y||=0 \iff x=y=0,$$ y no funcionaría para $x=y \neq 0$ .

Answer 2

Estoy de acuerdo. En cierto sentido, la condición real que querían es " $x,y$ se encuentran en una recta común que pasa por el origen", pero la condición dada se rompe cuando los puntos se acercan entre sí. Si se divide la ecuación de la condición por $\alpha$ y luego tomar $\alpha\to\infty$ está claro que esto se mantendría. De ahí que debas usar la definición de Wolfram que es casi lo mismo.