¿Dominado por operador compacto implica compacto?

Question

Dado un espacio de Hilbert $H$ una proyección $P\in B(H)$ y un operador compacto $T\in B(H)$ ¿cómo se llega a la conclusión de que $P\leq T$ implica $P$ ¿Compacto?

Creo recordar que se puede aplicar el hecho de que los ideales en $B(H)$ son hereditarios, pero he olvidado los pasos de este razonamiento.

Answer 1

La afirmación más general es cierta. Si $0\le B\le A$ y $A$ es compacto, entonces $B$ es compacto. De hecho, la hipótesis es equivalente a $$\|B^{1/2}x\|^2\le \langle Ax,x\rangle $$ Esto implica la compacidad de $B^{1/2}$ . Por lo tanto $B$ también es compacto.

Answer 2

Tenga en cuenta que si $P \le T$ entonces $$ \|Pu\|^2 = (Pu,Pu)= (Pu,u) \le (Tu,u) \le \|Tu\| \|u\|, \tag 1 $$ para todos $u \in H$ . Sea $(u_n)$ sea una secuencia acotada en $H$ . Desde $T$ es compacta, existe una secuencia creciente de índices $(k_n)$ tal que $(Tu_{k_n})$ converge. De (1) se deduce que $(Pu_{k_n})$ es Cauchy en $H$ y, por tanto, converge.