Hay un método para explicar esto sin utilizar métodos analíticos. Hablaré de ello al final de esta respuesta.
En primer lugar, si $p \equiv 1 \bmod 4$ entonces este resultado es claro ya que -1 es un cuadrado mod $p$ . Así que aquí exactamente la mitad de las plazas mod $p$ se encuentran en la primera mitad de $[1,p-1]$ . El verdadero problema es que $p \equiv 3 \bmod 4$ donde los métodos analíticos muestran que hay más cuadrados mod $p$ situada en la primera mitad de ese intervalo que en la segunda mitad, porque existe una fórmula para el número de clase de ${\mathbf Q}(\sqrt{-p})$ es decir, 1 ó 1/3 veces $S - N$ donde $S$ es el número de cuadrados mod $p$ en $[1,(p-1)/2]$ y $N$ es el número de no cuadrados mod $p$ en $[1,(p-1)/2]$ . Los números de clase son enteros positivos, por lo que $S > N$ lo que significa que en $[1,(p-1)/2]$ los cuadrados mod $p$ superan en número a los no cuadrados mod $p$ . Como hay tantos cuadrados como no cuadrados mod. $p$ en $[1,p-1]$ el sesgo de cuadrados frente a no cuadrados en la primera mitad de este intervalo obliga a que haya más cuadrados mod. $p$ en la primera mitad que cuadrados mod $p$ en la segunda parte.
Para una demostración por métodos analíticos, véase "Teoría de Números" de Borevich-Shafarevich, Teorema 4 en p. 346. Es no cierto que no se conocen derivaciones no analíticas de este sesgo. Por ejemplo, Borevich y Shafarevich dicen en la p. 347 que Venkov dio una demostración no analítica para algunos casos en 1928 (que salió en alemán en 1931: véase Math Z. Vol. 33, 350--374). Debo aclarar este punto, ya que aquí hay una errata de Borevich y Shafarevich. Lo que hizo Venkov fue dar una demostración no analítica de la fórmula del número de clase de Dirichlet para campos cuadráticos imaginarios que tienen discriminante $D \not\equiv 1 \bmod 8$ . Aquí el libro desgraciadamente tiene $D \equiv 1 \bmod 8$ . (En el libro queda claro que algo va mal porque poco después de decir que Venkov trató a $D \equiv 1 \bmod 8$ por métodos no analíticos dicen que el caso $D \equiv 1 \bmod 8$ aún espera una demostración no analítica). La fórmula del número de clase sólo obtiene una interpretación sobre cuadrados o no cuadrados para los campos ${\mathbf Q}(\sqrt{-p})$ pero Venkov estaba trabajando en demostraciones no analíticas de la fórmula del número de clase para campos cuadráticos imaginarios sin tener este caso restrictivo como el único en mente. R. W. Davis (Crelle 286/287 (1976), 369--379) simplificó el argumento de Venkov.
Qué casos para ${\mathbf Q}(\sqrt{-p})$ están cubiertos por Venkov? En $p \equiv 3 \bmod 4$ el discriminante de ${\mathbf Q}(\sqrt{-p})$ es $-p$ . Si $p \equiv 3 \bmod 8$ entonces $-p \equiv 5 \bmod 8$ mientras que si $p \equiv 7 \bmod 8$ entonces $-p \equiv 1 \bmod 8$ por lo que Venkov había demostrado no analíticamente la fórmula cuando $p \equiv 3 \bmod 8$ . El caso $p \equiv 7 \bmod 8$ permaneció abierta.
En 1978, el todo el problema estaba resuelto . Davis, en un segundo trabajo (Crelle 299/300 (1978), 247--255), trató algunos casos, aunque no todos, de campos cuadráticos imaginarios con discriminante $1 \bmod 8$ (correspondiente a $p \equiv 7 \bmod 8$ para los campos ${\mathbf Q}(\sqrt{-p})$ ) por métodos no analíticos y en el mismo año H. L. S. Orde lo resolvió todo por métodos no analíticos. Véase su artículo "On Dirichlet's class number formula", J. London Math. Soc. 18 (1978), 409--420.
