Hola. A partir de una de las formas del Nullstellensatz de Hilbert sabemos que todos los ideales maximales en un anillo polinómico $k[x_1, \dots, x_n]$ donde $k$ es un campo algebraicamente cerrado, son de la forma $(x_1 - a_1, \dots , x_n - a_n)$ . De modo que cualquier ideal maximal en este caso está generado por polinomios $g_j \in k[x_1, \dots, x_n]$ para $j = 1, \dots , n$ donde $g_j$ sólo depende de la variable $x_j$ (Obviamente tomando $g_j = x_j - a_j$ ). Ahora, estoy interesado en el caso de un anillo polinómico $k[x_1, \dots, x_n]$ donde $k$ es un campo arbitrario (es decir, no puedo hacer uso del Nullstellensatz). Supongo que esto ya no puede ser el caso, es decir, no espero que cualquier ideal maximal sea generado por n polinomios, cada uno de ellos sólo depende de una de las variables $x_j$ pero mi pregunta es si tal vez los ideales máximos pueden ser generados por polinomios $g_j$ que sólo dependen de la primera $j$ variables $x_1, \dots , x_j$ ? En caso afirmativo, ¿alguien sabe cómo demostrarlo o puede sugerirme algunas referencias que puedan ayudarme? Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La versión más fuerte de la Nullstellensatz afirma que una máxima ideal $I$ de $R=k[x_1,\ldots,x_n]$ es el núcleo de a $k$ -homorfismo de $R$ a $L$ donde $L/k$ es una extensión finita. Sea $a_1,\ldots,a_n$ sean las imágenes de $x_1,\ldots,x_n$ bajo dicho homomorfismo. Entonces $a_1$ tiene un polinomio mínimo $m_1$ en $k$ . Sea $f_1(x_1,\ldots,x_n)=m_1(x_1)$ . Entonces $f_1\in I$
Ahora $a_2$ tiene un polinomio mínimo $m_2$ en $k(a_1)$ . Podemos escribir los coeficientes de $m_2$ como polinomios en $a_1$ en $k$ . Haciendo esto, y sustituyendo $a_1$ por $x_1$ y la libre variable por $x_2$ da un polinomio $f_2$ en $x_1$ y $x_2$ . También $f_2\in I$ .
Continúa. Obtenemos una secuencia de polinomios $f_i$ en $x_1,\ldots,x_i$ y no es difícil demostrar que estos generan $I$ .
