Secuencias y operador lineal inyectivo acotado

Question

Sea $X$ sea un espacio de Banach y $L:X\to X$ sea un operador lineal acotado, unívoco y no suryectivo, pero con rango denso. Supongamos que $(x_n)$ es una secuencia de elementos de $X$ tal que la secuencia $(Lx_n)$ converge a 0. ¿Se deduce que $(x_n)$ converge a $0$ ?

Answer 1

Sea $X = \ell^2$ y $L$ viene dada por

$$L (y_1, y_2, \cdots, y_n , \cdots) = (y_1, y_2/2, \cdots, y_n/n, \cdots).$$

$L$ es acotada, uno a uno y no suryectiva (ya que la inversa $L^{-1}$ si existe, tendría que ser ilimitado, lo que violaría el teorema de la inversa acotada) y tiene un rango denso (piénsese en $L(n e_n) = e_n$ ). Nota $L(e_n) \to 0$ pero $e_n$ no tiende a $0$ .

Answer 2

No es así. Por ejemplo $X = \ell^2$ y $$ L\left[(x(k))_{k \in \Bbb N}\right] = \left(\frac 1k x(k)\right)_{k \in \Bbb N} $$ La imagen de $L$ es denso, ya que es un subespacio que contiene todas las secuencias que terminan en $0$ s. Sin embargo, consideremos la base estándar como una secuencia, es decir $$ x_n(k) = \begin{cases} 1 & k=n\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ entonces $Lx_n \to 0$ pero $(x_n)$ no converge.