Para un grupo $G$ ¿existe una interpretación de $\mathbb C[G]$ como funciones sobre algún espacio no conmutativo?
En caso afirmativo, ¿qué "aspecto" tiene este espacio? ¿Cuáles son sus propiedades? ¿Cómo se relacionan con las propiedades de $G$ ?
Respuestas
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El espacio no conmutativo definido por $C[G]$ es (por definición) el dual $\widehat{G}$ de G. Hay tantas formas de dar sentido a este espacio como teorías de geometría no conmutativa.
(Edito: En particular, si G no es finito tienes muchos significados posibles para el anillo de grupo, dependiendo de qué tipo de condiciones de regularidad y soporte pongas en G, o equivalentemente, qué clase de representaciones de G quieras considerar, y pasaré por alto todas esas cuestiones -que son la parte técnica principal del tema- más adelante).
Un principio básico es que la geometría no conmutativa no trata de álgebras hasta el isomorfismo, sino de álgebras hasta la equivalencia de Morita; en otras palabras, trata de categorías de módulos sobre álgebras (el invariante básico de la equivalencia de Morita). Se puede pensar en ellas (dependiendo del contexto) como haces vectoriales o láminas de algún tipo sobre el dual. En este caso se trata de la categoría de representaciones complejas de G, que son tramas sobre el dual $\widehat{G}$ . Se puede pensar en esto como una forma de la transformada de Fourier (módulos para funciones en G con convolución = módulos para funciones en el dual con multiplicación), aunque obviamente a este nivel de detalle es una completa tautología. Los invariantes más gruesos, como la teoría K de las álgebras de grupo, la homología de Hochschild, etc., dan invariantes, como la teoría K y la cohomología, del dual, por muy no conmutativo que sea. Existen muchas conjeturas sobre esta topología no conmutativa, la más famosa de las cuales es la conjetura Baum-Connes, que relaciona la teoría K de este "espacio" con la de los espacios clasificatorios asociados a G.
En cuanto al aspecto del dual, depende mucho del grupo. Para grupos completamente arbitrarios no sé nada significativo que decir más allá de cosas estructurales del tipo Baum-Connes, así que hay que elegir una clase de grupos para estudiarlos.
Si G es abeliano, el dual es a su vez un grupo (el grupo dual). La cosa formal que se puede decir en general es que el dual de G fibras sobre el dual del centro de G -- esta es una forma de lema de Schur, diciendo irreducible reps vivir sobre un punto particular de la dual del centro (es decir, el centro actúa por evaluación por un carácter). Podrías conseguir algo más de tracción mirando el "centro de Bernstein" o la cohomología de Hochschild --- endomorfismos del functor de identidad de G-reps. Se trata de un álgebra conmutativa y las fibras duales sobre su espectro. En muchos casos se trata de una muy buena aproximación al dual, es decir, las "fibras son finitas" (esto es lo que ocurre, por ejemplo, con los grupos reales y p-ádicos).
El método orbital de Kirillov dice que para un grupo nilpotente o soluble, el dual se parece al espacio dual del álgebra de Lie, módulo de la acción coadjunta. De nuevo, esto es bastante bueno.
A grandes rasgos, la filosofía de Langlands dice que para los grupos reductores G (en particular sobre campos locales o finitos) el dual de G está relacionado con las clases de conjugación en un grupo dual $G^\vee$ . Esto es si desea una manera de hacer significativa la observación de que las clases de conjugación y irreps están en biyección para un grupo finito - que más o menos quiere decir que están en biyección CANÓNICA si los dos grupos son "duales".
En lugar de decirlo así de toscamente, es mejor pensar en términos de la filosofía Harish-Chandra / Gelfand, que (de nuevo reducido a un fragmento tosco) dice que el dual de un grupo reductor (sobre cualquier campo) es una unión de "series", es decir, una unión de subespacios cada uno de los cuales se parece al dual de un toro modulo un grupo de Weyl. En otras palabras, se miran todas las clases de conjugación de toros en G, se construye su dual para cada toro (¡que ahora es un grupo!), y se modula por las simetrías heredadas por el toro de su incrustación en G, y éste es el dual de G a grandes rasgos. (Esto también es muy parecido a decir clases de conjugación semisimples en el grupo dual de G, que es de donde viene la interpretación de Langlands). De todas formas esto es decir que el dual es un objeto muy bonito y manejable, incluso algebraico. Kazhdan formuló esta filosofía diciendo que el dual de un grupo reductor es un objeto algebraico --- las repeticiones del grupo sobre un campo F son algo así como los puntos F de una variedad fija (o pila) sobre el cierre algebraico. De todos modos se puede ir mucho más lejos, y eso es lo que hace el programa Langlands.
Jon Galloway
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Espero que gente más experta también conteste y dé más información que yo. Mi recuerdo es que $\mathbb C[G]$ es algo parecido a las funciones de $\{{\rm pt}\}/G$ . En términos más generales, Connes afirma que cuando $G$ actúa sobre un espacio (agradable, digamos Hausdorff localmente compacto) $X$ entonces las funciones sobre el espacio no conmutativo $X/G$ vienen dadas por el producto semidirecto $\mathcal C_0(X) \rtimes G$ donde por $\mathcal C_0(X)$ Me refiero a las funciones menores que $\epsilon$ fuera de un conjunto compacto, y el producto semidirecto es como un espacio vectorial (una terminación C-star de) el producto tensorial $\mathcal C_0(X) \otimes \mathbb C[G]$ y la estructura del álgebra es tal que $\mathcal C_0(X)$ y $\mathbb C[G]$ son subálgebras. Connes fomenta esta forma de pensar sobre los cocientes malos; el ejemplo típico es la $\mathbb R$ acción sobre un toro dado por una recta irracional.
Sin embargo, no estoy del todo seguro de que me guste esta respuesta. En primer lugar, cuando $G$ es conmutativa, entonces $\operatorname{Spec}(\mathbb C[G])$ es el grupo dual, que me parece muy diferente de cómo pienso en $\{{\rm pt}\}/G$ . Y, en mi opinión, hay mejores formas de pensar en los cocientes malos, concretamente a través del lenguaje de los grupoides y las pilas. Pero no soy un experto en NCG.
