Esta pregunta se inspira en una respuesta a la pregunta Solicitud de referencia: Topología en el espacio de submanifolds lisos compactos ; lo he preguntado en un comentario a esa respuesta pero luego he decidido hacerla una pregunta aparte, ya que también está relacionada con una de mis preguntas anteriores, ¿Cordismo "ingenuo"? .
La pregunta a la que me refiero es sobre el espacio de $m$ -de los submanifolds de $\mathbb R^n$ y la respuesta anterior lo describe como la suma disjunta de espacios de la forma $\mathrm{Emb}(M,\mathbb R^n) /\mathrm{Diff}(M)$ . En particular, cada tipo de difeomorfismo de $m$ -produce una componente conexa separada de este espacio.
Mi pregunta es si se conoce algún tipo de compactación de este espacio que una todos estos componentes.
Dos cosas que me vienen a la mente en relación con esto son
(a) la compactificación de Deligne-Mumford de los espacios de módulos de curvas a través de curvas estables;
(b) invariantes de Vassiliev que se construyen añadiendo al espacio de 1-submanifolds lisos de $\mathbb R^3$ nuevos puntos correspondientes a determinadas inmersiones no incrustantes.
¿Existe realmente una relación entre ambos? ¿Se conocen análogos de dimensiones superiores de estas construcciones?
Mi motivación personal: un mapa de un espacio (digamos, conectado) $X$ a la suma disjunta anterior debería dar una fibración sobre $X$ con fibra an $m$ -(más alguna estructura adicional que describa esta fibra como un submanifold de $\mathbb R^n$ ); mientras que un mapa a esa supuesta compactificación daría en cambio una familia sobre $X$ que consiste "mayoritariamente" en tales variedades, pero permite "saltar" entre diferentes tipos de difeomorfismo a través de singularidades "suaves" (más o menos) controlables. Esto daría una imagen de lo que estaba preguntando en mi pregunta anterior sobre cobordismo "ingenuo".
