Una construcción canónica y categórica para la realización geométrica

Question

Existe una conexión muy íntima entre las categorías, los conjuntos simpliciales y los espacios topológicos. Por un lado, los conjuntos simpliciales son la categoría presheaf de la categoría $\Delta$ y $\Delta$ es un "invariante" canónicamente definido de la teoría de categorías. (por ejemplo, la maquinaria de Mark Weber "escupe" $\Delta$ cuando se "enchufa" la mónada de categoría libre: http://golem.ph.utexas.edu/category/2008/01/mark_weber_on_nerves_of_catego.html )

Sin embargo, $\Delta$ también está relacionado con los espacios topológicos. La clave de este vínculo es el functor $\Delta \to Top$ que asigna la categoría $[n]$ el n-simplex estándar $\Delta^n$ . Es este functor el que produce la adjunción entre el functor de realización geométrica y el functor de nervio singular que permiten transferir la estructura modelo sobre $Top$ a $Set^{\Delta^{op}}$ de modo que esta adjunción se convierte en una equivalencia de Quillen.

Mi pregunta es la siguiente:

¿Existe una justificación categórica profunda para el functor $\Delta \to Top$ ¿se define exactamente como es? Si no conociéramos los n-símplices estándar, ¿cómo podríamos "cocinar" un functor así? Me gustaría una construcción de este functor que sea verdaderamente canónica.

Lo más cercano a una respuesta que he encontrado es el documento de Drinfeld http://arxiv.org/abs/math/0304064 . Sin embargo, esto no me acaba de "cuadrar". En primer lugar, la definición está hecha, pero no motivada. La definición no debería ser una "suposición que funciona", sino algo canónico. Además, si se desenrolla lo suficiente, se está utilizando en secreto el hecho de que los subconjuntos finitos del intervalo con cardinalidad $n$ corresponden a puntos en (el interior de) la $(n+1)$ -simple. Además, la realización geométrica de conjuntos simpliciales no finitos es un tanto extraña. (No me malinterpretes, creo que es un gran artículo. Pero no responde totalmente a mi pregunta).

EDIT: Una posible pista:

$Set^{\Delta^{op}}$ es el topos clasificador para objetos de intervalo y el functor de realización geométrica estándar $Set^{\Delta^{op}} \to Top$ está determinada unívocamente por su envío del intervalo genérico a $[0,1]$ . Esto reduce la pregunta a "¿por qué [0,1] es el intervalo canónico?". ¿Es acaso el único objeto intervalo cuyo functor inducido $Set^{\Delta^{op}} \to Top$ es a la vez de izquierdas y conservador?

EDIT: He propuesto una respuesta parcial a esto a continuación, en la línea de la pista anterior. Me encantaría cualquier comentario que alguien tiene sobre esto.

Answer 1

En cuanto a "¿por qué el intervalo unitario es el intervalo canónico?", existe una interesante propiedad universal del intervalo unitario dada en algunos observaciones de Freyd publicado en la lista de categorías, caracterizando $[0, 1]$ como una álgebra terminal de un endofunctor adecuado en la categoría de posets con elementos superiores e inferiores distintos.

Hay varias formas de decirlo, pero a efectos de este hilo, lo diré así. Recordemos que la categoría de conjuntos simpliciales es el topos clasificador de la teoría (geométrica) de los intervalos, donde un intervalo es un conjunto totalmente ordenado (toset) con distintos superior e inferior. (Esto realmente se reduce a la observación de que cualquier intervalo en este sentido es un colímite filtrado de intervalos finitos -- los intervalos finitamente presentables -- que componen la categoría $\Delta^{op}$ .) Ahora hay una unión $X \vee Y$ en intervalos $X$ , $Y$ que identifica la parte superior de $X$ con la parte inferior de $Y$ donde la parte inferior de $X \vee Y$ se identifica con el fondo de $X$ y la parte superior de $X \vee Y$ con la parte superior de $Y$ . Esto da un producto monoidal $\vee$ en la categoría de intervalos, por lo que tenemos un endofunctor $F(X) = X \vee X$ . A álgebra de carbón para el endofunctor $F$ es, por definición, un intervalo $X$ equipado con un mapa de intervalos $X \to F(X)$ . Existe una categoría evidente de coalgebras.

En particular, el intervalo unitario $[0, 1]$ se convierte en una coalgebra si identificamos $[0, 1] \vee [0, 1]$ con $[0, 2]$ y considerar el mapa de multiplicación por 2 $[0, 1] \to [0, 2]$ como dando la estructura de coalgebra.

Teorema: El intervalo $[0, 1]$ es terminal en la categoría de las coalgebras.

Pensemos en esto. Dada cualquier estructura de álgebra de coalición $f: X \to X \vee X$ cualquier valor $f(x)$ aterriza en la mitad "inferior" (la primera $X$ en $X \vee X$ ), la mitad "superior" (la segunda $X$ en $X \vee X$ ), o en el punto exacto entre ambos. Por lo tanto, se podría pensar en un álgebra de coalición como un autómata en el que a la entrada $x_0$ hay una salida de la forma $(x_1, h_1)$ donde $h_1$ es superior o inferior o intermedio. Por iteración, esto genera un flujo de comportamiento $(x_n, h_n)$ . Interpretando superior como 1 e inferior como 0, el $h_n$ forman una expansión binaria para dar un número entre 0 y 1, y por tanto tenemos un mapa de intervalos $X \to [0, 1]$ que envía $x_0$ a ese número. Por supuesto, si alguna vez $(x_n, between)$ tenemos la opción de resolverlo como $(bottom_X, upper)$ o $(top_X, lower)$ y continuar el flujo, pero estos flujos se identifican, y esto corresponde a la identificación de expansiones binarias

$$.h_1... h_{n-1} 100000... = .h_1... h_{n-1}011111...$$

como números reales. De este modo, obtenemos un único mapa de intervalo bien definido $X \to [0, 1]$ de modo que $[0, 1]$ es la coalgebra terminal.

(Observación al margen de que la estructura de coalgebra es un isomorfismo, como siempre con coalgebras terminales, y el isomorfismo $[0, 1] \vee [0, 1] \to [0, 1]$ está relacionado con la interpretación del grupo de Thompson como un grupo de automorfismos PL $\phi$ de $[0, 1]$ que son monótonamente crecientes y con discontinuidades en los racionales diádicos).

Answer 2

Demasiado largo para un comentario, demasiado trivial para una respuesta:

Parece que si $K$ es un complejo simplicial finito y $K'$ es el conjunto de símplices de $K$ topologizado como un espacio cociente de $K$ entonces el mapa cociente es una equivalencia débil. Demostración: $K$ es la unión de conjuntos abiertos contráctiles, las estrellas abiertas de sus vértices, siendo la intersección de dos o más de ellos contráctiles o vacíos. $K'$ es la unión de los correspondientes conjuntos abiertos contractibles, siendo las intersecciones de nuevo contractibles o vacías según la misma regla. Utilicemos ahora repetidamente el hecho (consecuencia de Van Kampen y (para homología singular con coeficientes locales) escisión): Un mapa continuo de $X=U_1\cup U_2$ a $Y=V_1\cup V_2$ debe ser una equivalencia débil si da equivalencias débiles $U_1\to V_1$ , $U_2\to V_2$ y $U_1\cap U_2\to V_1\cap V_2$ .

Sustituye complejo simplicial por conjunto simplicial y tendrás un pequeño problema: se necesita alguna subdivisión.

Answer 3

He aquí algunas ideas locas. Si a alguien (incluido yo mismo) se le ocurre algo importante en este sentido, que edite esta respuesta. Lo estoy haciendo wiki de la comunidad para facilitar la edición, y porque las ideas son actualmente sólo un poco torpe.

Creo que recuperar el functor de realización geométrica estándar a partir de puras tonterías abstractas podría ser difícil, sólo porque tendría que haber una construcción implícita de tonterías abstractas del intervalo cerrado como espacio topológico a partir de sólo órdenes lineales finitos, y creo que ya lo habría visto antes en alguna parte.

Por otra parte, recientemente he aprendido que todo complejo CW finito es débilmente equivalente a un espacio topológico finito. Por ejemplo, el círculo es débilmente equivalente a un espacio topológico con 4 puntos. De hecho "para cualquier complejo simplicial abstracto finito K, existe un espacio topológico finito $X_K$ y una equivalencia homotópica débil $f : |K| \to X_K$ donde $|K|$ es la realización geométrica de $K$ ." (según wikipedia ). Así que tal vez podríamos hacer esta construcción functorial de complejos simpliciales finitos a espacios topológicos finitos. Tal vez este functor (que factoriza a través de la realización geométrica, y es "igual de bueno" en lo que respecta a la topología algebraica) podría entonces extenderse a los conjuntos simpliciales. Dado que la construcción debería ser más combinatoria, y no implicar a los reales en modo alguno, creo que este nuevo functor (si existe) podría ser más susceptible de una descripción "abstracta sin sentido". En lo que respecta a la topología algebraica, este nuevo functor podría ser "tan bueno" como la realización geométrica.

Tengo algunas ideas de cómo podría ser este functor, pero todavía estoy jugando con pequeños ejemplos. Siéntete libre de unirte a la locura si quieres, y añade tus ediciones con tu nombre.

Answer 4

Bueno, he leído un poco y he (re)descubierto un viejo artículo de Peter Johstone que se acerca bastante a responder a esta pregunta utilizando la teoría de los topos. Sigue la idea que publiqué como "posible pista" en mi EDIT.

En primer lugar, algunos antecedentes:

Joyal demostró que los conjuntos simpliciales son el topos clasificador de los "objetos de intervalo" (esto se explica, por ejemplo, en "Sheaves in Geometry and Logic" de Mac Lane y Moerdijk, donde se refieren a los objetos de intervalo como órdenes lineales). Por objeto de intervalo en $Set$ , se entiende a grandes rasgos un conjunto ordenado linealmente junto con un elemento superior e inferior. Se puede decir $I$ en un topos $\mathcal{E}$ es un objeto intervalo si y sólo si $Hom(E,I)$ es un objeto de intervalo en $Set$ para todos $E \in \mathcal{E}$ . Desde $Set^{\Delta^{op}}$ es el topos clasificador de objetos de intervalo, para cualquier topos $\mathcal{E}$ existe una equivalencia de categorías entre la categoría de morfismos geométicos $Hom(\mathcal{E},Set^{\Delta^{op}})$ y la categoría de objetos de intervalo en $\mathcal{E}$ , $Int(\mathcal{E})$ . Obsérvese que el functor imagen inversa $f^*:Set^{\Delta^{op}} \to \mathcal{E}$ de un morfismo geométrico $f:\mathcal{E} \to Set^{\Delta^{op}}$ es siempre exacto a la izquierda, por lo que puede considerarse como un "functor de realización geométrica con valores en $\mathcal{E}$ ".

Ahora, el functor de realización geométrica clásico $Set^{\Delta^{op}} \to Top$ casi encaja en este marco: es exacta a la izquierda y está determinada de forma única por el hecho de que el objeto intervalo universal de los conjuntos simpliciales se asigna al intervalo unitario estándar $[0,1]$ . Sin embargo, $Top$ no es un topos. Aquí es donde entra en juego el artículo de Peter Johstone de 1977 "On a topological topos". En él construye un topos $\mathcal{T}$ que contiene espacios topológicos secuenciales (y por tanto, por ejemplo, complejos CW) como subcategoría reflexiva. (En caso de que le interese, este topos es el topos de las láminas con respecto a la topología canónica de la subcategoría completa de $Top$ que consiste en el espacio de un punto y la compactificación de un punto de $\mathbb{N}$ .) Además, la inclusión de espacios secuenciales en $\mathcal{T}$ preserva muchos colímites, por ejemplo, todos los colímites que se utilizan para construir complejos CW. Ahora bien, como el intervalo unitario estándar $[0,1]$ es un objeto de $\mathcal{T}$ corresponde a un único morfismo geométrico $r:\mathcal{T} \to Set^{\Delta^{op}}$ . Johnstone demuestra entonces que si $X$ es un conjunto simplicial, entonces $r^*(X)$ es exactamente $|X|$ (como espacio secuencial considerado objeto de $\mathcal{T}$ ) Y que si $T \in \mathcal{T}$ es un espacio secuencial, entonces $r_*(T) \cong Sing(T)$ .

Esto es algo satisfactorio. Sin embargo, para que sea realmente satisfactorio, tendríamos que encontrarle sentido al por qué $\mathcal{T}$ es una elección natural, o bien, demostrar que cualquier "elección adecuada" de un topos daría la misma respuesta. Por otra parte, aunque intuitivamente está claro de algún modo, me gustaría dar sentido a en qué sentido el "intervalo unitario estándar" $[0,1]$ es realmente un "objeto de intervalo canónico".

Answer 5

La realización geométrica es sólo $\operatorname{hocolim}\limits_{\Delta^{op}}$ - o más precisamente, la construcción explícita para este functor colímite de homotopía (elevándolo de HoTop a Top). Un n-simplex surge allí como un reemplazo cofibrante para el mapa de n puntos a 1 punto. Y el casco convexo de n puntos parece ciertamente el conjunto contráctil más natural que contiene n puntos distintos, aunque no se me ocurre una afirmación precisa.