La transformada de Fourier del función de onda en función de q es el función de onda como función de x. La transformada de Fourier de q(t) es algo totalmente distinto, y corresponde mecánicamente a los elementos de la matriz del operador q entre estados de energía adyacentes.
Cuando el movimiento es periódico, la transformada de Fourier a lo largo de todo el tiempo es una serie de picos de la función delta en las posiciones $2\pi n\over T$ donde n es un número entero y T es el período clásico. Los coeficientes de la serie de Fourier C_n son los coeficientes de estos picos delta.
Los análogos mecánicos cuánticos de $C_n$ para el movimiento con período T son los elementos de la matriz del operador q cerca de la diagonal en la representación de la energía, para el valor de N que corresponde al movimiento clásico
$$ q_{N,N+n} = C_n $$
válida en el límite donde $n<<N$ . El valor de N es J/h donde J es la acción de la órbita clásica.
Esta correspondencia fue la idea central de Heisenberg en 1925, y en torno a ella construyó la mecánica cuántica moderna. Se puede derivar fácilmente de la mecánica cuántica moderna, aunque esto es históricamente retrógrado.
Si tienes un q(t), éste debe ser un paquete de ondas consistente en un superpositón de un gazillón de niveles de energía cercanos al nivel de energía correspondiente a la energía E de la órbita clásica. A partir de la ecuación de movimiento de Heisenberg, los elementos de la matriz de q(t) son periódicos con periodos E_n-E, lo que es $(n-m)2\pi/T$ por el principio de correspondencia.
Si el Estado $|\psi\rangle$ es una superposición de muchos niveles de energía:
$$ |\psi\rangle = \sum_k C_k |E_k> $$
Con todos los $E_i$ sólo infinitesimalmente diferente de $E_N = E$ Si observamos el valor esperado de q en función del tiempo en este estado difuso, obtenemos
$$\langle \psi | q(t) |\psi \rangle = \sum_k C_n^* C_{n-k} \langle N| q |N-k\rangle e^{i(E_N - E_{N-k})t} $$
Que, utilizando la regla de correspondencia para los espaciamientos de los niveles de energía a grandes números cuánticos $(E_N - E_{N-k}) = {2\pi k \over T}$ da los coeficientes de la serie de Fourier clásica de q(t):
$$ q(t) = \sum_n e^{i {2\pi n\over T }} \langle N|q_|N-k\rangle \sum_k C_k^* C_{k-n} $$
Cuando las C son funciones lentamente variables de n, de modo que la superposición no implica posiciones macroscópicamente separadas, la suma en el interior es esencialmente constante, es independiente de n, de modo que los coeficientes de la serie de Fourier son identificables como los elementos de la matriz de q.
En otras palabras, si se difumina la función de onda sobre muchos niveles de energía cercanos, se obtiene que la cantidad periódica no diagonal tiene un coeficiente de Fourier proporcional al elemento de la matriz en la aproximación semiclásica. El camino deductivo natural históricamente iba en la otra dirección, así fue como Heisenberg interpretó los elementos matriciales en la base energética, como generalizaciones de los coeficientes de Fourier de las cantidades clásicas en el tiempo.
Así, en particular, la transformada de Fourier de la forma diente de sierra nos da los elementos de la matriz para $\langle E_n|q|E_m\rangle$ para los niveles de energía del pozo cuadrado para números cuánticos grandes.
