Orden de operaciones de la aritmética modular

Question

En una tarea, me dan $E_K(M) = M + K \pmod {26}$ . Esta fórmula debe aplicarse dos veces en una demostración formal, de modo que tenemos $E_a(E_b(M)) =\ ...$ . Lo que me pregunto es si la fórmula original es igual a $(M + K)\pmod{26}$ o $M + (K \mod{26})$ ? Obviamente, esto marcará una gran diferencia en el futuro.

Sospecho que la primera ( $(M + K)\pmod{26}$ ), sin embargo quiero estar seguro antes de avanzar en mi prueba.

NB: No he etiquetado esto como deberes, ya que en realidad no es parte del problema, sino sólo una aclaración.

Answer 1

La interpretación habitual de sería $E_K(M)$ es igual a $M+K$ si ' $\text{mod}\: 26$ se aplica a ambos lados. En términos más generales, poner " $(\text{mod}\: N)$ a la derecha de un temr o ecuación suele aplicarse a toda la ecuación o término. Por ejemplo, las siguientes afirmaciones son válidas

$$\begin{eqnarray} 1 &=& 1 + 4 \quad (\text{mod}\: 2) \\ 2 &=& 6 + 2 \quad (\text{mod}\: 2). \end{eqnarray} $$

Tenga en cuenta que suele haber un espacio en blanco ancho antes del $(\text{mod}\: N)$ como en las dos ecuaciones anteriores. En latex (y por lo tanto aquí) se puede insertar un espacio de este tipo con \quad . Para que quede absolutamente claro que el signo igual no ecuación normal media, la gente también suele utilizar $\equiv$ ( \equiv ) en lugar de $=$ . Lo anterior se convierte entonces en

$$\begin{eqnarray} 1 &\equiv& 1 + 4 \quad (\text{mod}\: 2) \\ 2 &\equiv& 6 + 2 \quad (\text{mod}\: 2). \end{eqnarray} $$

Answer 2

Sospecho que lo que se quiere decir es $(M+K)\bmod 26$ donde $\bmod$ es el operador, especialmente si se trata de un contexto criptográfico. Los escritores más cuidadosos reservan la notación entre paréntesis $\pmod{26}$ para la relación de congruencia módulo $26$ utilizándolo únicamente en relación con $\equiv$ como en $27\equiv 53\pmod{26}$ .

Así, si $M=K=27$ el resultado previsto es probablemente $54\bmod 26=2$ no $27+(27\bmod 26)=28$ .

Answer 3

Sin más contexto es imposible determinar lo que se pretende, porque hay muchos abusos de la notación mod.

Sin embargo, con alta probabilidad, la expresión $\rm\: M\!+\!K\ (mod\ 26)\:$ denota el resto de $\rm\:M\!+\!K\:$ cuando se divide por $26\,$ (o toda la clase de residuos $\rm\ M\!+\!K+26\,\Bbb Z\:$ que contiene el resto).

Su otra interpretación posible, $\rm\:M + (K\ mod\ 26),\:$ es mucho más raro, aunque a veces se da cuando se habla de paridad, por ejemplo, los autores pueden escribir $\rm\:n\ (mod\ 2)\:$ ou $\rm\: n\ mod\ 2\:$ en expresiones aritméticas que dependen de la paridad de $\rm\:n.$

En el primer caso se está realizando modular aritmética, es decir, suma módulo $26$ . En el segundo caso se está realizando entero aritmética, es decir, la suma normal de números enteros. Si el contexto ambiental revela qué tipo de aritmética se pretende, entonces se puede deducir el significado de la notación.

Answer 4

$$M+K\pmod{26}$$

Tu sugerencia y el uso de paréntesis me hace querer aclarar algo (por si acaso):

$$E\equiv M+K\pmod{26}\iff E=M+K+26k,\;\;k\in\mathbb{Z} $$

El mod no es una variable sobre la que se pueda operar (al menos no como está escrito).

Edita: parece que leí mal la pregunta, aunque supongo que la $k$ relación anterior aclara el orden de las operaciones de todos modos.