¿Existe alguna función continua cuyos parciales no existan?

Question

¿Existe una función continua de $f : \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R$ tal que sea continua cuyas dos derivadas parciales no existan.

Creo que la función $f : \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R$ definido por $f(x,y) = |x|(1 + y)$ donde $(x,y) \in \mathbb R^2$ tiene la propiedad anterior en $(0,0)$ . Pero no puedo probar que $f$ es continua en $(0,0)$ por $\epsilon-\delta$ método. Por favor, ayúdeme.

Gracias de antemano.

Answer 1

Basta con considerar la suma de dos variables únicas Funciones de Weierstrass uno en el $x$ una en la variable $y$ variable. Esto es aún mejor, tiene continuidad en todas partes y no diferenciabilidad o derivadas parciales en cualquier lugar .

Answer 2

Sea $\epsilon>0$ dado.

tenemos que encontrar $\delta>0$ tal que:

$|x-0|<\delta $ y $|y-0|<\delta \implies ||x|(1+y)|<\epsilon$ .

ya que estamos cerca $(0,0)$ podemos suponer que $\color{red}{-0.5}<y<\color{red}{0.5}$ . que da $0.5<1+y<1.5$ y $|1+y|<1.5$ .

Ahora es más fácil buscar $\delta.\;:$ $|f(x,y)-f(0,0)|=|x||1+y|<1.5|x|<\epsilon$

o $|x|<\frac{2\epsilon}{3}$ . por lo tanto, tomaremos $$\delta=\min(\frac{2\epsilon}{3},\color{red}{0.5})$$ para satisfacer ambas condiciones

• $|y|<0.5$

• $|x|<\frac{2\epsilon}{3}$ .