En mis pocos años de estudio de álgebra abstracta que yo siempre he visto espacios vectoriales sobre los campos, en lugar de otros más débiles estructuras. ¿Cuáles son las diferencias de tener un espacio vectorial (o cualquiera que sea la estructura análoga se llama[módulo?]) definidos sobre un director ideal de dominio que no es también un campo? ¿Qué propiedades de los espacios vectoriales romper a la hora de definirlo más de un PID? Por favor dar un ejemplo (aparte de dejar el espacio vectorial a ser el campo/PID sí mismo), donde el espacio vectorial sobre un campo tiene propiedades que el módulo a través de un PID no.
Respuestas
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Hay una muy buena teoría de la estructura de finitely generado los módulos a través de un PID, que es frecuentemente discutido aquí en MSE.
Sin embargo, la teoría general es mucho más complicado ya que en el caso de (no finitely generado) abelian grupos, es decir, $\Bbb{Z}$-módulos.
La primera cosa que falta es que no todos los módulos a través de un PID tendrá una base. Tomemos por ejemplo el $\Bbb{Z}$-módulo de $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$. Cuando se trata con espacios vectoriales, el único invariante es la dimensión. Con los módulos a través de un PID, este ya no es el caso..
runeh
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No es sólo una manera. Los módulos a través de $\mathbb Z$ son abelian grupos, y tienen una rica estructura de la teoría, que implica la existencia de finito de los módulos, y el primer factorización.
Pasando a $\mathbb Q$ como campo de fracciones nos encontramos con que cada escalar es una unidad y cada no-trivial espacio vectorial es infinito.
Así que los módulos pueden tener propiedades que espacios vectoriales no compartir.
rschwieb
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En realidad, alguien ya ha hecho una pregunta acerca de Patologías en el módulo de teoría, cuyas soluciones se muestran mucho acerca de cómo el módulo de teoría de la diferencia (de diversas maneras) a partir del vector de espacio de la teoría. En resumen, cuando usted comienza a perder propiedades atractivas, se empieza a apreciar más :)
Después de aprender sobre los espacios vectoriales y su utilidad en álgebra lineal, que servirá como punto de referencia para la intuición sobre el módulo de teoría. Cuando se pasa de un campo a menos bonito anillo, las cosas comienzan a romperse. Esta no es realmente una mala noticia: acabamos de aprender más acerca de cómo las propiedades atractivas.
$\Bbb F[x]$ es un importante director de ideal de dominio, y resulta que un montón de álgebra lineal puede ser recuperado a partir del módulo de teoría sobre estos polinomio anillos.
$\Bbb Z$ es también un importante PID, y el estudio de sus módulos es el estudio de abelian grupos.
Pero todavía hay un montón de otras preguntas para hacer. Por ejemplo: ¿Qué anillos tienen módulos que son isomorfos a las copias del anillo? (respuesta: la división de los anillos.)
Por lo que los anillos son los módulos directa sumas de módulos sencillos? (respuesta semisimple anillos.
Por lo que los anillos son los módulos de todos los planos? (respuesta: von Neumann regular de los anillos)
Así que usted puede ver que el movimiento de los campos a PIDs es solo un paso en una gran web de movimiento hacia fuera de los campos, la exploración de lo que sus módulos de aspecto. Usted no tiene que parar en PID!
